【応用編】因数分解で複数（2種類以上）の文字を含む式を解くコツと教え方｜高校数学

高校数学において、複数の文字が含まれる多項式の因数分解の基本は、1つの文字について整理することです。高校生に教える際のポイントをやさしく解説します。

なお、因数分解の基本的な解き方については、以下の記事をご覧ください。

解き方・教え方がわかる事典｜中学・高校数学

複数の文字を含む多項式の因数分解の解き方

最初は因数分解の基本的な解き方を試してみる！

まずは、

①共通因数でくくる

②同じ形のものを別の文字に置き換える

③公式を使う

などができないかを考えましょう。

解けそうになければ1つの文字について整理してください。

例：ｘ²ーｙ²ー６ｘ＋６ｙ

これをｘについて整理して、ｘ^2ー６ｘーｙ²＋６ｙとしても、これ以上式変形をすることができません。

この問題は、基本公式ａ²ーｂ²＝（ａ＋ｂ）（ａーｂ）と、共通因数のくくり出しとを使って解きます。

ｘ²ーｙ²ー６ｘ＋６ｙ

＝（ｘ＋ｙ）（ｘーｙ）ー６（ｘ－ｙ）

＝（ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙー６）

1つの文字について整理して解く！

次数が最も小さい文字について整理します。

次数が同じ場合は、どれか1つの文字について整理しましょう。

例：ａ²ｂ＋ａｃーｂｃーａｂ²

字数が最も小さいのはｃなので、ｃについて整理しましょう。

ａ²ｂ＋ａｃーｂｃーａｂ²

＝ｃ（ａーｂ）＋ａ²ｂーａｂ²

＝ｃ（ａーｂ）＋ａｂ（ａーｂ）

＝（ａーｂ）（ａｂ＋ｃ）

例題に挑戦！

①ｘ²ー２ｙ²＋２ｘーｘｙー７ｙー３

②ー８ｂ＋２ａｂーａ²＋１６

③２ｘ²ーｘｙー３ｙ²ー３ｘ＋７ｙー２

〈解答〉

①ｘについて整理した後、たすき掛けを使って解きます。

ｘ²ー２ｙ²＋２ｘーｘｙー７ｙー３

＝ｘ²ー（ｙ－２）ｘー（２ｙ²＋７ｙ＋３）

＝ｘ²ー（ｙ－２）ｘー（２ｙ＋１）（ｙ＋３）

＝（ｘー２ｙー１）（ｘ＋ｙ＋３）

②基本公式ａ²ーｂ²＝（ａ＋ｂ）（ａーｂ）と、共通因数のくくり出しとを使って解きます。1つの文字について整理する必要はありません。

ー８ｂ＋２ａｂーａ2＋１６

＝２ｂ（ａー４）ー（ａ＋４）（ａー４）

＝（ａー４）（ーａ＋２ｂー４）

③ｘについて整理した後、たすき掛けを使って解きます。

２ｘ²ーｘｙー３ｙ²ー３ｘ＋７ｙー２

＝２ｘ²ー（ｙ＋３）ｘー（３ｙ^2ー７ｙ＋２）

＝２ｘ²ー（ｙ＋３）ｘー（３ｙー１）（ｙー２）

＝（２ｘー３ｙ＋１）（ｘ＋ｙ－２）

複数の文字を含む多項式の因数分解の解き方を教えるポイント

2ステップで考える

ステップ1：共通因数でくくる、同じ形のものを別の文字に置き換える、因数分解の基本公式を用いるなど、まずは基本的な因数分解の解き方を試す。

ステップ2：最低次数の文字で整理して考える

基本公式を暗記しているかを確認しよう

以下の基本公式を暗記しましょう。

簡単めの問題を多めに解き、運用に慣れることが大切です。

ａ²＋２ａｂ＋ｂ²＝（ａ＋ｂ）²

ａ²ー２ａｂ＋ｂ²＝（ａーｂ）²

ａ²ーｂ²＝（ａ＋ｂ）（ａーｂ）

ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）（下の公式のうち、ｘ²の係数が１の場合）

ａｃｘ²＋（ａｄ＋ｂｃ）ｘ＋ｂｄ＝（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）

式整理のパターンを覚えよう！

最低次数の文字で整理してから因数分解する場合も、ある程度パターン化できます。

ｘ²ー（ｙ－２）ｘー（２ｙ＋１）（ｙ＋３）

（図）

＝（ｘー２ｙー１）（ｘ＋ｙ＋３）

のような、文字式のたすき掛けのやり方をしっかりと押さえておきましょう。

概要が理解できれば問題演習を重ねよう

教えてもらっている状態で問題が解けたとしても、独力でできなければ意味がありません。分かった気になっているだけ、ということもあります。

思考力が問われる数学であっても、反復練習は非常に大事です。簡単な問題から標準レベルの問題まで、段階を踏んで解いていくようにしましょう。

解けた問題には○、解けなかった問題には△や×をつけ、2周目以降では△や×の問題を中心にやり直すようにしてください。

因数分解の応用問題を解くには、複雑な式変形を処理することが必要です。一つ一つの式変形の意味を考えながら解き進めるようにしましょう。

オススメの問題集は、『新課程　チャート式　基礎と演習数学I+A』（数研出版）や『新課程　チャート式　基礎からの数学I+A』（数研出版）です。

前者の方が問題は易しめです。3次式の因数分解が載っていますが、いったん飛ばしても問題ありません。

お子さんの理解が進まないパターン3選とその対処法

教えてもなかなか理解してもらえない

根気よく何度も例題レベルの問題を一緒に解いてください。

ヒントを出しながら解いてもらい、徐々にヒントの量を減らすというのも有効です。

複数の文字が出てくると、途端に難易度が上がったように感じられます。特に、文字式のたすき掛けについては、時間をかけて教えてあげてください。

教えるとその場ではできるのに、お子さん一人で問題を解くと間違いが多発

このパターンは、さらに以下の2パターンに大別できます。

①問題演習が足りていない

→問題演習で基礎レベルから順番に解いていきましょう。

②教えられた時は分かった気になっている

→どこでつまずいているのかを分析、理解できていないポイントを再説明しましょう。その後、説明したポイントが理解できているかを測れる問題を演習できるとベストです。

最低次数の文字について式を整理するかどうかの判断が難所です。

様々なパターンの因数分解に取り組んでもらってください。

教えようとすると、ちょっとした間違いを指摘しただけで機嫌が悪くなり、うまくいかない

思春期で親子関係が難しく、接し方にデリケートな配慮が必要な場合があります。

1つ指摘するときは1つ以上ほめることを意識しましょう。ほめる内容は、学習を着実に進められている点などにするのがオススメです。

そして大事なことは、「根気強く、粘り強く」です。保護者の方が不機嫌になったり、イライラしたりしないように心がけてください。

子どもに教えるというのは、なかなかにストレスが溜まる作業です。保護者の方の息抜きも必要でしょう。根を詰めてやりすぎると、保護者の方もお子さんもしんどくなってしまいます。

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• 思春期で親子関係が難しくなってきた
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