平成29年度に実施された「大妻中学高等学校」中学3年生の1学期期末テスト数学について、個別指導塾WAYSの木元佑太朗が分析します。
基礎〜標準レベルの問題が中心でしたが、問題量がやや多かったため、スピーディーに解く力を身につけているかが得点の鍵となりました。
点数が伸びない場合に成績を立て直すには、学校教材の演習の強化が必要です。
個別指導塾WAYSでは、「大妻中学高等学校」に個別対応した定期テスト対策で、得点につながる指導を行っています。
家だと勉強できない、正しい勉強法が分からない場合は、82.9％の中高一貫校生の成績アップを実現してきた「中高一貫校専門 個別指導塾WAYS」にご相談ください。
大妻中学高等学校に個別対応した定期テスト対策で、成績アップを実現します。
このページの目次
試験範囲
1学期期末テストの範囲は「命題と条件」「命題と証明」「場合の数」「確率」でした。
いずれも得意・不得意が分かれやすい単元です。
苦手だと感じたら演習量を増やし、確実に解けるようにしていきましょう。
問題構成
| 大問 | 内容 | 基礎・標準・応用 | 問題数 |
| 1 | 命題の真偽判定と逆・裏・対偶 | 基礎 | 8 |
| 2 | 場合の数の小問集 | 基礎 | 8 |
| 3 | 確率の小問集 | 基礎 | 5 |
| 4 | 約数の個数と総和 | 基礎 | 2 |
| 5 | 0を含む数字の順列 | 標準 | 2 |
| 6 | 隣接する順列としない順列 | 標準 | 6 |
| 7 | 最短経路の数 | 標準 | 3 |
| 8 | 確率の小問集 | 標準 | 5 |
| 9 | 対偶を利用した証明・背理法による証明 | 標準 | 9 |
問題数と出題傾向
|
基礎・標準・応用
|
合計問題数 |
| 基礎 | 23 |
| 標準 | 25 |
| 応用 | 0 |
出題は基礎〜標準レベルが中心でした。
ただし、試験時間に対して分量がやや多く、上位層と下位層の差がはっきり出やすい構成だったといえます。
数学が得意な生徒にとっては、それほど難しくない標準問題だったでしょう。
いずれも学校の教科書や問題集で扱われる題材ばかりです。そのため、高得点を取れた生徒は重要な学習事項をしっかり身につけられていると考えてよいでしょう。
一方、思うように点数が伸びなかった場合は、演習量の不足が原因かもしれません。
教科書や問題集の例題を丁寧に解き直し、曖昧な部分を補強していきましょう。
大問ごとの分析
大問1 命題の真偽判定と逆・裏・対偶
「逆・裏・対偶」の定義を正しく理解しているかを問う、基本的な知識確認の問題でした。教科書の内容をきちんと押さえていれば解ける問題です。
真偽の判定もそこまで難しくはなかったでしょう。
ここで大切なのは「もとの命題とその対偶の真偽は一致する」という性質です。もとの命題が真なのに対偶を偽としてしまった人は、この基本事項を復習しておきましょう。
なお、もとの命題の「逆」と「裏」の真偽も一致します。両者が対偶の関係にあるためです。
大問2 場合の数の小問集
教科書やサクシードに頻出する問題ばかりです。
ぜひ全問正解を目指したい内容でした。
以下、気になった問題についてコメントします。
（1）は「1〜100の整数のうち、5と6の少なくとも一方で割り切れる個数」を求める問題でした。重複の処理がポイントです。
（4）は必ず女子が含まれる組み合わせを求める問題です。「全体から男子だけの場合を引く」と考えるとスムーズに解けます。
（8）は重複組み合わせの問題です。a〜dはすべて0以上の整数なので、6個の○と3本の仕切り｜を1列に並べる場合の数と一致します。
大問3 確率の小問集
この大問も特に難しいものは含まれていません。
きちんと数え上げて、重複や漏れがないようにするだけです。
大問4 約数の個数と総和
1800の約数の個数とその総和を求める問題です。素因数分解ができれば、約数の個数は求められます。
総和の公式も正確に覚えておきましょう。
さらに、なぜその公式が成り立つのかを説明できるようにしておくと理解が深まります。
大問5 0を含む数字の順列
0を含む場合と含まない場合に分けて考えましょう。
（1）は重複なしの問題です。1の位が0の場合と5の場合に分けて考えましょう。
（2）は重複ありの問題で、3288より大きい4桁の自然数を求めます。
千の位が3の場合と、5・7・8の場合に分けて丁寧に処理すればよいでしょう。
大問6 隣接する順列としない順列
教科書や『サクシード 数学I+A』でよく見られる基本問題です。確実に解けるようにしておきましょう。
（3）の「男子が両端に来る」は頻出パターンです。
「女子が隣り合わない」も同様に頻出で、男子の間に女子を配置する手法で解けます。どちらも必ず押さえておきたいパターンです。
大問7 最短経路の数
最短経路問題は大学入試でも頻出です。解法の考え方をしっかり身につけておきましょう。
（3）の「RもSも通らない」は余事象で考えるのがセオリーです。
全体からRまたはSを通る場合を引けば求められます。重複や漏れがないよう丁寧に処理しましょう。
大問8 確率の小問集
教科書や『サクシード 数学I+A』に頻出する基本問題です。
（3）の②は「出る目の最大値が4の場合の確率」を求める問題です。
やや発想が難しく感じるかもしれませんが、余事象で考えましょう。
「1〜4の目が出る確率」から「1〜3の目が出る確率」を引けば求められます。典型的な解法なので、確実に身につけておきましょう。
今回はサイコロ3つの場合でしたが、サイコロn個に一般化した出題もあります。
応用に備えて考え方を理解しておくことが大切です。
大問9 対偶を利用した証明・背理法による証明
（1）はnを整数とするとき、「nの2乗が3の倍数ならばnは3の倍数である」ことを証明する穴埋め問題でした。
穴埋めに頼らず、自力で記述できるようにしておきましょう。
証明の方針は背理法と対偶の2通りがあります。基本的には背理法が多用されますが、対偶が有効な場合もあります。
どちらが有効かの見極め方は、ぜひ授業で確認してください。
（2）は無理数であることの証明で、こちらも典型問題です。
√3を有理数p/q（pとqは互いに素）と仮定して計算を進めます。するとpもqも3の倍数となり、互いに素という仮定に矛盾します。
この流れを自分で書けるようにしておきましょう。
1学期期末テスト数学｜傾向と対策まとめ
学校の授業の予復習を丁寧に行いましょう。高校数学は授業の密度が高く、少し頑張った程度では内容が定着しにくくなります。
おすすめの学習サイクルは次のとおりです。
まず授業前日に30分ほど予習し、授業中に疑問点を解消します。
授業後は問題集で演習し、知識を定着させましょう。
テストまでに教科書と問題集を最低3周することが高得点の秘訣です。
定期テストを軽視するのは禁物です。今回の内容からもわかるように、定期テストは基礎力を確認する最適な機会です。
まずはテストで高得点を取ることを目標に、日々の学習に取り組んでいきましょう。
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大妻中学高等学校で好成績を取るには、学校教材を反復演習し、完璧にしてからテストに臨む必要があります。
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