三角方程式、三角不等式、三角関数の最大・最小とは？基本と教え方を解説｜高校数学

高校数学における三角方程式・三角不等式の基本は、単位円やグラフを使いながら考えていくことです。高校生に教える際のポイントを、基本公式からやさしく解説します。

なお、次の単元の基本的な解き方については、以下の記事をご覧ください。

・三角関数の基本公式とグラフ

・加法定理・倍角の公式・半角の公式・3倍角の公式

・和積公式・合成

解き方・教え方がわかる事典｜中学・高校数学

三角方程式とは

三角方程式とその解

三角方程式とは、三角関数を含む方程式のことです。Θの値を求めます。

ｓｉｎΘ＝ｋ（－１≦ｋ≦１）で、解の一つがΘ＝αのとき、Θ＝α、πーαとなります。

これは、ｓｉｎΘ＝ｓｉｎ（πーΘ）だからです。なお、一般解は、Θ＝α＋２ｎπ、（πーα）＋２ｎπ（ｎは整数）と表せます。

２πでちょうど円1周分なので、２ｎπは円ｎ周を表します。円を何周したとしても、結局ｓｉｎΘの値を決めるのは、αと（πーα）です。

例えば、ｓｉｎΘ＝１／２のとき、Θ＝π／６、５／６ πです。一般解は、Θ＝π／６＋２ｎπ、５／６ π＋２ｎπ（ｎは整数）となります。

次に、ｃｏｓΘ＝ｋ（－１≦ｋ≦１）の場合を考えましょう。

解の一つがΘ＝αのとき、Θ＝α、２πーαとなります。

これは、ｃｏｓΘ＝ｃｏｓ（２πーΘ）だからです。

例えば、ｃｏｓΘ＝１／２のとき、Θ＝π／３、５／３ πです。一般解は、Θ＝π／３＋２ｎπ、５／３ π＋２ｎπ（ｎは整数）となります。

では、ｔａｎΘ＝ｋ（－１≦ｋ≦１）の場合はどうなるでしょうか。

解の一つがΘ＝αのとき、Θ＝α、α＋πとなります。

これは、ｔａｎΘ＝ｔａｎ（Θ＋π）だからです。

例えば、ｔａｎΘ＝１のとき、Θ＝１／４ π、５／４ πです。一般解は、Θ＝１／４ π＋ｎπ（ｎは整数）となります。

例題

０≦Θ＜２πのとき、次の方程式を解け。また、その一般解を求めよ。

①ｓｉｎΘ＝１／２

②ｃｏｓΘ＝ー√３／２

③ｔａｎΘ＝ー√３

〈解答〉

単位円を書くと考えやすい。

①

（点Ａ・点Ｂのｙ座標）：（ＯＡ・ＯＢ）：（点Ａ・点Ｂのｘ座標）＝１：２：√３の三角形をイメージしましょう。

０≦Θ＜２πのとき、Θ＝π／６、５／６ π。

一般解は、θ＝π／６＋２ｎπ、５／６ π＋２ｎπ（ｎは整数）。

②

3辺が１：２：√３の三角形をイメージしましょう。

０≦Θ＜２πのとき、Θ＝５／６ π、７／６ π。

一般解は、θ＝５／６ π＋２ｎπ、７／６ π＋２ｎπ（ｎは整数）。

③

3辺が１：２：√３の三角形をイメージしましょう。

点Ａ・点Ｂのｘ座標とｙ座標のうち、片方が正で、もう片方が負であればＯＫです。

０≦Θ＜２πのとき、θ＝２／３ π、５／３ π。

一般解は、２／３ π＋ｎπ（ｎは整数）。

三角不等式とは

三角不等式の解き方

三角不等式は、まず三角方程式として解きましょう。

例えば、０≦Θ＜２πで１／２≦ｓｉｎΘ≦１／√２を解く場合、最初にｓｉｎΘ＝１／√２、１／２を満たすΘの値を求めます。

θ＝π／６・π／４・３／４ π・５／６ π

あとは、三角関数のグラフを用いてΘの値の範囲を求めましょう。

上図において、Ａ（π／６、１／２）、Ｂ（π／４、１／√２）、Ｃ（３／４ π、１／√２）、Ｄ（５／６ π、１／２）です。

１／２≦ｓｉｎΘ≦１／√２を満たすのは、ＡＢ間・ＣＤ間なので、

π／６≦Θ≦π／４、３／４ π≦Θ≦５／６ π

例題

０≦Θ＜２πのとき、次の不等式を解け。

①ｃｏｓΘ＞ー１／２

②ｔａｎΘ≦１

〈解答〉

①

ｃｏｓΘ＝ー１／２のとき、０≦Θ＜２πを満たすΘは２／３ π、４／３ π。

上図より、ｃｏｓΘ＞ー１／２を満たすのは、ＡＢ間以外だとわかります。

０≦Θ＜５／６ π、７／６ π＜θ＜２π。

②

ｔａｎΘ＝１のとき、０≦Θ＜２πを満たすΘはπ／４、５／４ π。

上図より、Ａ（π／４、１）とＢ（５／４ π、１）の右側以外であれば条件を満たす。

ｔａｎΘは、Θ＝π／２、３／２ π のとき、定義されないことに注意しましょう。

０≦Θ≦π／４、π／２＜Θ≦５／４ π、３／２ π＜Θ＜２π。

三角方程式と三角不等式を教えるポイント

三角方程式は単位円をしっかりイメージする

慣れないうちは、単位円を丁寧に書いて考えることが大切です。

また、一般解の２ｎπは、円をｎ周するだけだということも伝えてあげてください。

三角不等式は、三角方程式を解いたあとで三角関数のグラフをイメージする

Θの範囲を求めるとき、単位円を使ってもできますが、グラフをイメージする方が確実です。

ｙ＝ｓｉｎΘ・ｙ＝ｃｏｓΘ・ｙ＝ｔａｎΘのグラフを書いて考えるようにしましょう。

グラフで考えれば、ｔａｎΘにおいて、Θ≠π／２＋ｎπであることを見落とすこともなくなります。

三角関数の応用問題に挑戦！

変域が変わる三角方程式・三角不等式

〈問題〉

０≦Θ＜２πのとき、次の方程式と不等式を解け。

①２ｃｏｓ（２Θ＋π／４）＝１

②√２ｓｉｎ（Θ＋π／６）＞１

〈解答〉

①

０≦Θ＜２πより、π／４≦２Θ＋π／４＜９／４ π

この範囲でｃｏｓ（２Θ＋π／４）＝１／２を満たすのは、

２Θ＋π／４＝π／３、５／３ π

Θ＝π／２４、１７／２４ π

②

０≦Θ＜２πより、π／６≦Θ＋π／６＜１３／６ π

この範囲でｓｉｎ（Θ＋π／６）＞１／√２を満たすのは、

π／４＜Θ＋π／６＜３／４ π

π／１２＜Θ＜７／１２ π

ｓｉｎ²Θ＋ｃｏｓ²Θ＝１を使って解く三角方程式

〈問題〉

０≦Θ＜２πのとき、次の方程式を解け。

ｓｉｎ²Θ＋３ｃｏｓ²Θ＋３ｃｏｓΘー３＝０

〈解答〉

ｓｉｎ²Θ＋３ｃｏｓ²Θ＋３ｃｏｓΘー３＝０

ｓｉｎ²Θ＋ｃｏｓ²Θ＋２ｃｏｓ²Θ＋３ｃｏｓΘー３＝０

１＋２ｃｏｓ²Θ＋３ｃｏｓΘー３＝０（∵ｓｉｎ²Θ＋ｃｏｓ²Θ＝１）

２ｃｏｓ²Θ＋３ｃｏｓΘー２＝０

（２ｃｏｓΘ－１）（ｃｏｓΘ＋２）＝０

ｃｏｓΘ＝－２、１／２

０≦Θ＜２πのとき、－１≦ｃｏｓΘ≦１であるから、ｃｏｓΘ＝１／２

Θ＝π／３、５／３ π

三角関数の最大・最小

〈問題〉

０≦Θ＜２πのとき、ｙ＝ｃｏｓ²Θ＋ｃｏｓΘー２の最大値と最小値を求めよ。また、そのときのΘの値を求めよ。

〈解答〉

ｃｏｓΘ＝ｔとおくと、－１≦ｔ≦１……①

ｙをｔで表すと、

ｙ＝ｔ²＋ｔ－２

　＝（ｔ＋１／２）²ー９／４

①の範囲において、ｙの最大値は０（ｔ＝１）、ｙの最小値はー９／４（ｔ＝ー１／２）

０≦Θ＜２πのとき、ｔ＝ｃｏｓΘ＝１となるのは、Θ＝０

ｔ＝ｃｏｓΘ＝ー１／２となるのは、Θ＝２／３ π、４／３ π

よって、Θ＝０のとき最大値０

Θ＝２／３ π、４／３ πのとき最小値ー９／４

概要が理解できれば問題演習を重ねよう

教えてもらっている状態で問題が解けたとしても、独力でできなければ意味がありません。分かった気になっているだけ、ということもあります。

思考力が問われる数学であっても、反復練習は非常に大事です。簡単な問題から標準レベルの問題まで、段階を踏んで解いていくようにしましょう。

解けた問題には○、解けなかった問題には△や×をつけ、2周目以降では△や×の問題を中心にやり直すようにしてください。

今回解説した範囲は、単位円とグラフを正しく書くことがポイントです。焦らず、時間をかけて基礎の土台をつくりましょう。

オススメの問題集は、『新課程　チャート式　基礎と演習数学I+A』（数研出版）や『新課程　チャート式　基礎からの数学I+A』（数研出版）です。

前者の方が問題は易しめです。

お子さんの理解が進まないパターン3選とその対処法

教えてもなかなか理解してもらえない

根気よく何度も例題レベルの問題を一緒に解いてください。

ヒントを出しながら解いてもらい、徐々にヒントの量を減らすというのも有効です。

三角比の既習範囲が理解できていないというケースもありますので、注意しましょう。

教えるとその場ではできるのに、お子さん一人で問題を解くと間違いが多発

このパターンは、さらに以下の2パターンに大別できます。

①問題演習が足りていない

→問題演習で基礎レベルから順番に解いていきましょう。

②教えられた時は分かった気になっている

→どこでつまずいているのかを分析、理解できていないポイントを再説明しましょう。その後、説明したポイントが理解できているかを測れる問題を演習できるとベストです。

様々なパターンの問題に触れ、とにかく手を動かしてもらいましょう！

教えようとすると、ちょっとした間違いを指摘しただけで機嫌が悪くなり、うまくいかない

思春期で親子関係が難しく、接し方にデリケートな配慮が必要な場合があります。

1つ指摘するときは1つ以上ほめることを意識しましょう。ほめる内容は、学習を着実に進められている点などにするのがオススメです。

そして大事なことは、「根気強く、粘り強く」です。保護者の方が不機嫌になったり、イライラしたりしないように心がけてください。

子どもに教えるというのは、なかなかにストレスが溜まる作業です。保護者の方の息抜きも必要でしょう。根を詰めてやりすぎると、保護者の方もお子さんもしんどくなってしまいます。

教えるのが大変……。成績低迷に悩む中高一貫校生なら、専門塾WAYSで92.9％が成績アップ！

最後に、お子さんが中高一貫校生で、成績低迷に悩んでいるのであれば、「中高一貫校専門 個別指導塾WAYS」をおすすめします。

• 思春期で親子関係が難しくなってきた
• 子どもの勉強を見る時間がなかなか取れない
• 勉強の内容が難しくなり、教えられなくなってきた

以上のように、家庭でのサポートが難しい場合にも、学習塾の活用は理にかなっています。

500校以上の指導ノウハウ＆9割以上の成績アップ実績

WAYSは、成績が低迷してしまっている中高一貫校生の、授業・定期テストのサポートに特化した、補習塾タイプの個別指導塾です。

一番の強みは、500校以上の中高一貫校生を指導してきたノウハウと、9割以上の塾生の成績を跳ね上げてきた実績です。

確認テストの実施や、生徒に問題を解説してもらうなどの指導スタイルで、塾生は確実に理解を深めていきます。