【基本編】因数分解とは？ 基本公式・式整理の仕方、教え方を徹底解説｜高校数学

高校数学における因数分解の基本は、公式が使えるように式変形していくことです。高校生に教える際のポイントを、基本公式からやさしく解説します。

なお、1つの文字について整理する因数分解（応用編）については、以下の記事をご覧ください。

解き方・教え方がわかる事典｜中学・高校数学

因数分解の基本

因数分解とは

因数分解は、多項式を1次以上の多項式の積の形にすることを言います。

式の展開と逆の作業です。

例えば、

ｘ²＋８ｘ＋１６＝（ｘ＋４）2

ｘ²ー２ｘー２４＝（ｘー６）（ｘ＋４）

などがあります。

因数分解の基本公式

2次式の因数分解の公式を紹介します。右辺を展開すれば左辺に一致することがわかります。

ａ²＋２ａｂ＋ｂ²＝（ａ＋ｂ）²

ａ²ー２ａｂ＋ｂ²＝（ａーｂ）²

ａ²ーｂ²＝（ａ＋ｂ）（ａーｂ）

ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）（下の公式のうち、ｘ²の係数が１の場合）

ａｃｘ²＋（ａｄ＋ｂｃ）ｘ＋ｂｄ＝（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）

なお、ａｘ²＋（ａｄ＋ｂｃ）ｘ＋ｂｄを（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）の形に因数分解する場合は、たすき掛けが便利です。

詳しくは、実例のなかで見ていきましょう。

式の整理の仕方

①共通因数でくくる

例：３ａ³ｘ^{2＋１８ａ2ｘ}ー１５ａｘ³

共通因数が３ａｘなので、３ａ³ｘ^{2１８ａ2ｘ}ー１５ａｘ＝３ａｘ（ａ²ｘ＋６ａー５）

②同じ形のものを別の文字に置き換える

例：（ｘ＋２）²ー５（ｘ＋２）＋６

ｘ＋２＝Ｘとおくと、

（ｘ＋２）²ー５（ｘ＋２）＋６

＝Ｘ2ー５Ｘ＋６

たすき掛けをすると、

X2^{の係数は１ですので、たすき掛けの左端は１・１に確定します。}

定数は６なので、－６・－１、ー３・－２、２・３、１・６のいずれかですが、このうち、和がＸの係数である－５になるのは、－３・－２の組み合わせです。

Ｘ2ー５Ｘ＋６

＝（Ｘー２）（Ｘー３）

＝（ｘ＋２ー２）（ｘ＋２ー３）（Ｘ＝ｘ＋２より）

＝ｘ（ｘー１）

例題に挑戦！

①（ｘ＋ｙ）²＋ｙｚ＋ｚｘ

②２５ｘ²ｙ²ー４９

③ｘ²ー４ｘー３２

④２ｘ²ー９ｘ＋４

⑤４ａ²ー４ａｂー３ｂ²

⑥３（ｘー３）²＋１０（ｘ－３）＋３

⑦２ｘ^4ー７ｘ^2ー４

〈解答〉

①共通因数をくくり出します。

（ｘ＋ｙ）²＋ｙｚ＋ｚｘ

＝（ｘ＋ｙ）²＋ｚ（ｘ＋ｙ）

＝（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ＋ｚ）

②ａ²ーｂ²＝（ａ＋ｂ）（ａーｂ）を用います。

２５ｘ²ｙ²ー４９

＝（５ｘｙ）²ー７²

＝（５ｘｙ＋７）（５ｘｙー７）

③たすき掛けを使いましょう。

ｘ²ー４ｘー３２

＝（ｘー８）（ｘ＋４）

④たすき掛けを使いましょう。

ｘ²の係数は２なので、組み合わせは１・２に確定します。

定数は４なので、組み合わせは－４・－１、－２・－２、２・２、１・４のいずれかです。

このうち、２×○＋１×△＝－９となるのは、○＝－４、△＝－１です。

２ｘ²ー９ｘ＋４

＝（２ｘ－１）（ｘー４）

⑤ａの二次式と考えて、たすき掛けを使いましょう。

ａ²の係数は４なので、組み合わせは１・４、２・２のいずれかです。

定数はー３ｂ²ですから、組み合わせはー３ｂ²・１、３ｂ^{2・－１、－３ｂ・ｂ、ーｂ・３ｂのいずれかです。}

ただ、和にｂ^{2が含まれていないことから、－３ｂ・ｂ、ーｂ・３ｂのいずれかだとわかります。}

あとは和が－４ｂになるような組み合わせを探しましょう。

４ａ²ー４ｂａー３ｂ²

＝（２ａー３ｂ）（２ａ＋ｂ）

⑥同じ形のものを別の文字に置き換え、たすき掛けを使います。

ｘー３＝Ｘとおく。

３（ｘー３）²＋１０（ｘ－３）＋３

＝３Ｘ²＋１０Ｘ＋３

＝（Ｘ＋３）（３Ｘ＋１）

＝（ｘー３＋３）｛３（ｘー３）＋１｝

＝ｘ（３ｘー８）

⑦同じ形のものを別の文字に置き換え、たすき掛けを使い、ａ²ーｂ²＝（ａ＋ｂ）（ａーｂ）を用います。

ｘ²＝Ｘとおく。

２ｘ^4ー７ｘ^2ー４

＝２Ｘ^2ー７Ｘー４

＝（Ｘー４）（２Ｘ＋１）

＝（ｘ²ー４）（２ｘ²＋１）

＝（ｘ－２）（ｘ＋２）（２ｘ²＋１）

3次式の因数分解の基本公式〈数学Ⅱ〉

数学Ⅱでは、3次式の因数分解が登場します。

ここでは、公式のみ紹介しておきます。余裕があればぜひ覚えてみてください。

ａ³＋３ａ²ｂ＋3ａｂ²＋ｂ³＝（ａ＋ｂ）³

ａ³ー３ａ²ｂ＋3ａｂ²ーｂ³＝（ａーｂ）³

ａ³＋ｂ³＝（ａ＋ｂ）（ａ²ーａｂ＋ｂ²）

ａ³ーｂ³＝（ａーｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）

因数分解の解き方を教えるポイント

基本公式を暗記しているかを確認しよう

慣れが勝負です。

簡単めの問題を多めに解き、まずは基本公式の運用に慣れましょう。

たすき掛けなどで正負の間違いが多発します。間違うたびに丁寧に確認することが必要です。

式整理のパターンを覚えよう！

因数分解の基本の解き方は、

①共通因数でくくる

②同じ形のものを別の文字に置き換える

③公式を使う

です。

例題を解く度にこの3ステップを丁寧に確認してあげてください。

概要が理解できれば問題演習を重ねよう

教えてもらっている状態で問題が解けたとしても、独力でできなければ意味がありません。分かった気になっているだけ、ということもあります。

思考力が問われる数学であっても、反復練習は非常に大事です。簡単な問題から標準レベルの問題まで、段階を踏んで解いていくようにしましょう。

解けた問題には○、解けなかった問題には△や×をつけ、2周目以降では△や×の問題を中心にやり直すようにしてください。

因数分解は、式変形の過程が重要です。雑に処理していないかを確認しながら進めましょう。

オススメの問題集は、『新課程　チャート式　基礎と演習数学I+A』（数研出版）や『新課程　チャート式　基礎からの数学I+A』（数研出版）です。

前者の方が問題は易しめです。3次式の因数分解が載っていますが、いったん飛ばしても問題ありません。

お子さんの理解が進まないパターン3選とその対処法

教えてもなかなか理解してもらえない

根気よく何度も例題レベルの問題を一緒に解いてください。

ヒントを出しながら解いてもらい、徐々にヒントの量を減らすというのも有効です。

たすき掛けが難所です。ｘ²の係数が１のもの、ｘ²の係数が１以外のもの、2種類の文字が使われているもの、というように徐々にレベルを上げていくとよいでしょう。

教えるとその場ではできるのに、お子さん一人で問題を解くと間違いが多発

このパターンは、さらに以下の2パターンに大別できます。

①問題演習が足りていない

→問題演習で基礎レベルから順番に解いていきましょう。

②教えられた時は分かった気になっている

→どこでつまずいているのかを分析、理解できていないポイントを再説明しましょう。その後、説明したポイントが理解できているかを測れる問題を演習できるとベストです。

正負を逆にしてしまう、何の公式を使えばよいか分からず手が止まる、といったことがよく起きます。

丁寧に学習を進めてあげてください。

教えようとすると、ちょっとした間違いを指摘しただけで機嫌が悪くなり、うまくいかない

思春期で親子関係が難しく、接し方にデリケートな配慮が必要な場合があります。

1つ指摘するときは1つ以上ほめることを意識しましょう。ほめる内容は、学習を着実に進められている点などにするのがオススメです。

そして大事なことは、「根気強く、粘り強く」です。保護者の方が不機嫌になったり、イライラしたりしないように心がけてください。

子どもに教えるというのは、なかなかにストレスが溜まる作業です。保護者の方の息抜きも必要でしょう。根を詰めてやりすぎると、保護者の方もお子さんもしんどくなってしまいます。

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