一次方程式とは？ 基本＋文章題の解き方と、教え方のポイントを徹底解説｜中学数学

一次方程式とは何か？　解き方と、中学生に教える際のポイントを、基礎からやさしく解説します。

解き方・教え方がわかる事典｜中学・高校数学

一次方程式とは

まずは、「一次方程式」がどういうものなのか、定義の説明から始めます。

なんとなくイメージがつかめれば大丈夫ですので、気軽に読み流してください。

方程式とは

方程式とは、未知数を含む等式のうち、未知数が特定の値に限定できるものをいいます。特定の値に限定できるとは、「解をもつ」と同義です。

例えば、３ｘ－１＝２ｘ＋３の解はｘ＝４、ｘ2＝９の解はｘ＝±３となります。

一次方程式とは

一次方程式は、項のなかで最大次数が１である方程式をいいます。次数とは、文字の個数のことです。

例えば、３ｘ^３＋６は３ｘ・ｘ・ｘ＋６となり、ｘが３つあるので、次数は３です。２ｘ^４＋ｘ^３＋４ｘ＝ｘ－８などは、最大次数が４なので４次方程式です。

一次方程式は、ｘの個数が１つなので、３ｘ＋２＝４ｘ－３やｘ－５＝２などが該当します。

一次方程式の解き方は？

ａｘ＝ｂの形を目指す！

式変形をした結果、２ｘ＝６や３ｘ＝１といった、ａｘ＝ｂの形にできれば、ｘ＝ｂ/ａとなります。

式変形をする際のポイントは、以下の二つです。

移項を使おう！

式変形のゴールであるａｘ＝ｂは、左辺にｘ、右辺に数値が来ていますので、ｘが含まれているものを左辺へ、それ以外の数値を右辺にまとめればよいことになります。

例えば、一次方程式３ｘー２＝ｘ＋４を見てみましょう。

ｘが含まれているものを左辺にまとめるということは、右辺のｘが邪魔です。どうすればよいかというと、右辺からｘを消すために、右辺からｘを引けばよいのです。

ただ、左辺と右辺は”＝”でつながれていますから、右辺からだけｘを引いたのでは、釣り合いがとれません。同様に、左辺からもｘを引く必要があります。

３ｘー２ーｘ＝ｘ＋４ーｘ

→２ｘー２＝４

次に、数値を右辺にまとめましょう。

左辺の－２を消すためには、両辺にそれぞれ２を足せばよいのです。

２ｘー２＋２＝４＋２

→２ｘ＝６となります。解は、ｘ＝３ですね。

ちなみに、移項する際は、見た目のうえでは正負が反転します。慣れてきたら、一足飛ばしに次のように計算してもよいでしょう。

３ｘー２＝ｘ＋４

→３ｘーｘ＝４＋２（ｘがーｘ、－２が２になっている）

係数や数値を整数にしよう！

小数や分数が混ざっている場合、移項やｂ÷ａの計算が煩雑になってしまいます。

それぞれの項の係数や数値を整数値にしてから解くようにしましょう。

①０．５ｘー２．１＝０．２ｘ＋３．６

この場合、両辺にそれぞれ１０をかけることで、整数値に直すことができます。

（０．５ｘー２．１）×１０＝（０．２ｘ＋３．６）×１０

５ｘー２１＝２ｘ＋３６

５ｘー２ｘ＝３６＋２１

３ｘ＝５７

ｘ＝１９となります。

②１／２ｘー１／３＝３／４ｘ＋１／６

この場合、分母を払うために、分母の２、３、４、６の最小公倍数である１２を両辺にそれぞれかけることで、整数値に直すことができます。

（１／２ｘー１／３）×１２＝（３／４ｘ＋１／６）×１２

６ｘー４＝９ｘ＋２

６ｘー９ｘ＝２＋４

ー３ｘ＝６

ｘ＝－２となります。

練習問題

以下の練習問題に挑戦してみてください。

基本

①６＝３ｘ－６

②６ー２（４ｘー４）＝３（ｘー３）＋１

小数

③０．７ｘー１．４＝０．３ｘ＋０．２

④２．６ｘ＝０．０５（２ｘー５）

分数

⑤１／４ｘー３／５＝ー２／３ｘー５／６

解答

①３ｘー６＝６

３ｘ＝６＋６

３ｘ＝１２

ｘ＝４

②６ー２（４ｘー４）＝３（ｘー３）＋１

６ー８ｘ＋８＝３ｘ－９＋１

ー８ｘー３ｘ＝－８－１４

－１１ｘ＝－２２

ｘ＝２

③０．７ｘー１．４＝０．３ｘ＋０．２

７ｘー１４＝３ｘ＋２

４ｘ＝１６

ｘ＝４

④２．６ｘ＝０．０５（２ｘー５）

２．６ｘ＝０．１０ｘー０．２５

２６０ｘ＝１０ｘー２５

２５０ｘ＝ー２５

ｘ＝ー１／１０

⑤１／４ｘー３／５＝ー２／３ｘー３

（１／４ｘー３／５）×６０＝（ー２／３ｘー５／６）×６０

１５ｘー３６＝ー４０ｘ－５０

５５ｘ＝－１４

ｘ＝ー１４／５５

一次方程式の解き方を教えるポイント

まずは、ａｘ＝ｂの形を目指すことを伝えてください。

方針としては、左側にｘ、右側に数値がくるように移項を使います。

移項の説明をする際は、単に正負が逆転するということだけでなく、なぜ逆転するように見えるのかを、きちんと教えてあげてください。

また、分数が混ざっている場合は、最小公倍数の考え方を使うことになります。お子さんが忘れているようであれば、そちらも合わせて教えてあげるとよいでしょう。

一次方程式の文章題を教えるポイント

一次方程式そのものが解けるようになれば、次は一次方程式の文章題を攻略しましょう。

基本的には、日本語を数式に置き換えるイメージです。

最初に、何を未知数ｘとおくか考えましょう。答えとして求める値をｘとおくとやりやすいことが多いです。

お子さんの横について実際の問題を眺めながら、「問題文のこの部分は、どのような数式で表せるだろう？」という問いかけをしてあげてください。

それでは、例題を見てみましょう。

みかんの個数をｘ個、りんごの個数をｙ個とすると、次のような式が成り立ちます。

１１０ｘ＋１４０ｙ＝１１９０

ただ、この式だけではｘの値は求められません。

もうひとつ、「みかんとりんごを合わせて１０個買った」という条件を数式化しましょう。

ｘ＋ｙ＝１０となります。すなわち、ｙ＝１０ーｘと表せますね。

これを先ほどの式に代入すると、

１１０ｘ＋１４０（１０ーｘ）＝１１９０となります。

１１０ｘ＋１４００ー１４０ｘ＝１１９０

－３０ｘ＝１１９０ー１４００

－３０ｘ＝－２１０

ｘ＝７

これで答えが出ました。

文章題から読み取れる条件を漏れのないよう数式化していくことがポイントです。

概要が理解できれば問題演習を重ねよう

教えてもらっている状態で問題が解けたとしても、独力でできなければ意味がありません。分かった気になっているだけ、ということもあります。

思考力が問われる数学であっても、反復練習は非常に大事です。簡単な問題から標準レベルの問題まで、段階を踏んで解いていくようにしましょう。

解けた問題には○、解けなかった問題には△や×をつけ、2周目以降では△や×の問題を中心にやり直すようにしてください。

オススメの問題集は、『中学校3年間の数学が1冊でしっかりわかる問題集』（かんき出版）や『チャート式中学数学 シリーズ』（数研出版）です。

お子さんの理解が進まないパターン3選とその対処法

教えてもなかなか理解してもらえない

根気よく何度も例題レベルの問題を一緒に解いてください。

ヒントを出しながら解いてもらい、徐々にヒントの量を減らすというのも有効です。

また、文字数ｘに慣れていないという場合は、ｘを〇や△に置き換えてあげましょう。例えば、３ｘ＋４＝７を、〇〇〇＋４＝７などと置き換えます。

教えるとその場ではできるのに、お子さん一人で問題を解くと間違いが多発

このパターンは、さらに以下の2パターンに大別できます。

①問題演習が足りていない

→問題演習で基礎レベルから順番に解いていきましょう。

②教えられた時は分かった気になっている

→どこでつまずいているのかを分析、理解できていないポイントを再説明しましょう。その後、説明したポイントが理解できているかを測れる問題を演習できるとベストです。

一次方程式の難所は、移項時の正負逆転と、文章題における日本語の数式化です。丁寧に学習を進めてあげてください。

教えようとすると、ちょっとした間違いを指摘しただけで機嫌が悪くなり、うまくいかない

思春期で親子関係が難しく、接し方にデリケートな配慮が必要な場合があります。

1つ指摘するときは1つ以上ほめることを意識しましょう。ほめる内容は、学習を着実に進められている点などにするのがオススメです。

そして大事なことは、「根気強く、粘り強く」です。保護者の方が不機嫌になったり、イライラしたりしないように心がけてください。

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