三角関数の和と積の公式・合成とは？教え方と合わせて徹底解説｜高校数学

三角関数の和積公式・合成を高校生に教える際のポイントは、公式の作り方をきちんと押さえることです。

なお、次の単元の基本的な解き方と教え方については、以下の記事をご覧ください。

・三角関数の基本公式とグラフ

・三角方程式、三角不等式

・加法定理、2倍角の公式、半角の公式、3倍角の公式

解き方・教え方がわかる事典｜中学・高校数学

和積公式の基本

和積公式とは

積→和の公式

ｓｉｎ α・ｃｏｓ β＝１／２｛ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（αーβ）｝

ｃｏｓ α・ｓｉｎ β＝１／２｛ｓｉｎ（α＋β）ーｓｉｎ（αーβ）｝

ｃｏｓ α・ｃｏｓ β＝１／２｛ｃｏｓ（α＋β）＋ｃｏｓ（αーβ）｝

ｓｉｎ α・ｓｉｎ β＝ー１／２｛ｃｏｓ（α＋β）ーｃｏｓ（αーβ）｝

和→積の公式

ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）／２・ｃｏｓ（ＡーＢ）／２

ｓｉｎＡーｓｉｎＢ＝２ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）／２・ｓｉｎ（ＡーＢ）／２

ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＝２ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）／２・ｃｏｓ（ＡーＢ）／２

ｃｏｓＡーｃｏｓＢ＝ー２ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）／２・ｓｉｎ（ＡーＢ）／２

積→和の公式は、加法定理を用いて作る

加法定理ｓｉｎ（α±β）＝ｓｉｎ α・ｃｏｓ β±ｃｏｓ α・ｓｉｎ β

ｃｏｓ（α±β）＝ｃｏｓ α・ｃｏｓ β∓ｓｉｎ α・ｓｉｎ β

に、ｓｉｎ α・ｃｏｓ β、ｃｏｓ α・ｓｉｎ β、ｃｏｓ α・ｃｏｓ β、ｓｉｎ α・ｓｉｎ βがそれぞれ含まれていることを利用します！

ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎ α・ｃｏｓ β＋ｃｏｓ α・ｓｉｎ β……①

ｓｉｎ（αーβ）＝ｓｉｎ α・ｃｏｓ βーｃｏｓ α・ｓｉｎ β……②

ｓｉｎ α・ｃｏｓ β

①＋②をすれば、ｃｏｓ α・ｓｉｎ βが消え、右辺がｓｉｎ α・ｃｏｓ βだけになります。

ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（αーβ）＝２ｓｉｎ α・ｃｏｓ β

ｓｉｎ α・ｃｏｓ β＝１／２｛ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（αーβ）｝

ｃｏｓ α・ｓｉｎ β

①ー②をすれば、ｓｉｎ α・ｃｏｓ βが消え、右辺がｃｏｓ α・ｓｉｎ βだけになります。

ｓｉｎ（α＋β）ーｓｉｎ（αーβ）＝２ｃｏｓ α・ｓｉｎ β

ｃｏｓ α・ｓｉｎ β＝１／２｛ｓｉｎ（α＋β）ーｓｉｎ（αーβ）｝

残り二つも同様に考えましょう。

ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓ α・ｃｏｓ βーｓｉｎ α・ｓｉｎ β……③

ｃｏｓ（αーβ）＝ｃｏｓ α・ｃｏｓ β＋ｓｉｎ α・ｓｉｎ β……④

ｃｏｓ α・ｃｏｓ β

③＋④より、ｃｏｓ（α＋β）＋ｃｏｓ（αーβ）＝２ｃｏｓ α・ｃｏｓ β

ｃｏｓ α・ｃｏｓ β＝１／２｛ｃｏｓ（α＋β）＋ｃｏｓ（αーβ）｝

ｓｉｎ α・ｓｉｎ β

③ー④より、ｃｏｓ（α＋β）ーｃｏｓ（αーβ）＝ー２ｓｉｎ α・ｓｉｎ β

ｓｉｎ α・ｓｉｎ β＝ー１／２｛ｃｏｓ（α＋β）ーｃｏｓ（αーβ）｝

和→積の公式は、積→和の公式を用いて作る

積→和の公式の右辺が和の形になっていることに注目し、α＋βとαーβを一字に置き換え、見やすくします。

α＋β＝Ａ……⑤

αーβ＝Ｂ……⑥

とおきましょう。

あとは、積→和の公式の左辺にあるα、βをＡ、Ｂで表せば完成です。

⑤＋⑥より、２α＝Ａ＋Ｂなので、α＝（Ａ＋Ｂ）／２

⑤ー⑥より、２β＝ＡーＢなので、β＝（ＡーＢ）／２

これを積→和の公式に代入すれば、和→積の公式となります。

ｓｉｎ α・ｃｏｓ β＝１／２｛ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（αーβ）｝に代入する場合は、以下のようになります。

ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）／２・ｃｏｓ（ＡーＢ）／２＝１／２（ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ）

両辺を２倍して

ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）／２・ｃｏｓ（ＡーＢ）／２

例題

次の値を求めよ。

①ｃｏｓ７５°・ｓｉｎ１５°

②ｓｉｎ７５°ーｓｉｎ１５°

〈解答〉

①積→和の公式より、

ｃｏｓ７５°・ｓｉｎ１５°

＝１／２｛ｓｉｎ（７５°＋１５°）－ｓｉｎ（７５°ー１５°）｝

＝１／２｛ｓｉｎ９０°ーｓｉｎ６０°｝

＝１／２（１ー√３／２）

＝（２ー√３）／４

②和→積の公式より、

ｓｉｎ７５°ーｓｉｎ１５°

＝２ｃｏｓ（７５°＋１５°）／２・ｓｉｎ（７５°ー１５°）／２

＝２ｃｏｓ４５°・ｓｉｎ３０°

＝２・１／√２・１／２

＝√２／２

合成の公式

合成の公式とは

ａ ｓｉｎΘ＋ｂ ｃｏｓΘ＝√（ａ²＋ｂ²）・ｓｉｎ（Θ＋α）

ただし、ｓｉｎ α＝ｂ／√（ａ²＋ｂ²）、ｃｏｓ α＝ａ／√（ａ²＋ｂ²）

合成の公式は、加法定理を用いて作る

下図のように、原点がＯのｘｙ座標上に点Ｘ（ａ、ｂ）をとり、線分ＯＸがｘ軸の正の向きとなす角をαとします。

三平方の定理より、ＯＸ＝√（ａ²＋ｂ²）

また、

ｓｉｎ α＝ｂ／√（ａ2＋ｂ2）

ｃｏｓ α＝ａ／√（ａ2＋ｂ2）

ａ＝√（ａ2＋ｂ2）・ｃｏｓ α

ｂ＝√（ａ2＋ｂ2）・ｓｉｎ α

よって、

ａ ｓｉｎΘ＋ｂ ｃｏｓΘ

＝√（ａ²＋ｂ²）・ｃｏｓ α・ｓｉｎΘ＋√（ａ²＋ｂ²）・ｓｉｎ α・ｃｏｓΘ

＝√（ａ²＋ｂ²）（ｃｏｓ α・ｓｉｎΘ＋ｓｉｎ α・ｃｏｓΘ）

＝√（ａ²＋ｂ²）ｓｉｎ（Θ＋α）（∵加法定理）

例題

次の三角関数を合成し、ｋ ｓｉｎ（Θ＋α）の形に直せ。ただし、ｋ＞０、ーπ≦α≦πとする。

①ｓｉｎΘー√３ｃｏｓΘ

②３ｓｉｎΘ＋２ｃｏｓΘ

〈解答〉

①αが具体的な値をとるパターン

原点をＯとするｘｙ座標に点Ｘ（１、ー√３）をとる。

ＯＸ＝√｛１²＋（ー√３）^2｝

　　＝２

辺の長さの比が１：２：√３の三角形なので、線分ＯＸがｘ軸の正の向きとなす角はーπ／３

よって、ｓｉｎΘー√３ｃｏｓΘ＝２ｓｉｎ（Θーπ／３）

②αが具体的な値ではないパターン

原点をＯとするｘｙ座標に点Ｘ（３、２）をとる。

ＯＸ＝√（３²＋２²）

　　＝√１３

辺の長さの比が２：３：√１３の三角形なので、αが具体的に定まらない。

この場合は、線分ＯＸがｘ軸の正の向きとなす角をαとおき、

ｓｉｎ α＝２／√１３、ｃｏｓ α＝３／√１３

よって答えは、

３ｓｉｎΘ＋２ｃｏｓΘ＝√１３ｓｉｎ（Θ＋α）

ただし、ｓｉｎ α＝２／√１３、ｃｏｓ α＝３／√１３

お子さんに教える際のポイント

以下のポイントを伝えてあげてください。

概要が理解できれば問題演習を重ねよう

教えてもらっている状態で問題が解けたとしても、独力でできなければ意味がありません。分かった気になっているだけ、ということもあります。

思考力が問われる数学であっても、反復練習は非常に大事です。簡単な問題から標準レベルの問題まで、段階を踏んで解いていくようにしましょう。

解けた問題には○、解けなかった問題には△や×をつけ、2周目以降では△や×の問題を中心にやり直すようにしてください。

今回解説した公式は、いずれも抜け落ちてしまいやすいものばかりです。繰り返し自分で公式を導くようにしましょう。

オススメの問題集は、『新課程　チャート式　基礎と演習数学I+A』（数研出版）や『新課程　チャート式　基礎からの数学I+A』（数研出版）です。

前者の方が問題は易しめです。

お子さんの理解が進まないパターン3選とその対処法

教えてもなかなか理解してもらえない

根気よく何度も例題レベルの問題を一緒に解いてください。

ヒントを出しながら解いてもらい、徐々にヒントの量を減らすというのも有効です。

単位円では表しにくい問題が増え、式の変形が中心となってイメージがしづらくなっています。式変形の意味を逐一理解することがポイントです。

教えるとその場ではできるのに、お子さん一人で問題を解くと間違いが多発

このパターンは、さらに以下の2パターンに大別できます。

①問題演習が足りていない

→問題演習で基礎レベルから順番に解いていきましょう。

②教えられた時は分かった気になっている

→どこでつまずいているのかを分析、理解できていないポイントを再説明しましょう。その後、説明したポイントが理解できているかを測れる問題を演習できるとベストです。

様々なパターンの問題に触れ、とにかく手を動かしてもらいましょう！

教えようとすると、ちょっとした間違いを指摘しただけで機嫌が悪くなり、うまくいかない

思春期で親子関係が難しく、接し方にデリケートな配慮が必要な場合があります。

1つ指摘するときは1つ以上ほめることを意識しましょう。ほめる内容は、学習を着実に進められている点などにするのがオススメです。

そして大事なことは、「根気強く、粘り強く」です。保護者の方が不機嫌になったり、イライラしたりしないように心がけてください。

子どもに教えるというのは、なかなかにストレスが溜まる作業です。保護者の方の息抜きも必要でしょう。根を詰めてやりすぎると、保護者の方もお子さんもしんどくなってしまいます。

教えるのが大変……。成績低迷に悩む中高一貫校生なら、専門塾WAYSで92.9％が成績アップ！

最後に、お子さんが中高一貫校生で、成績低迷に悩んでいるのであれば、「中高一貫校専門 個別指導塾WAYS」をおすすめします。

• 思春期で親子関係が難しくなってきた
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以上のように、家庭でのサポートが難しい場合にも、学習塾の活用は理にかなっています。

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