【基本編】一次関数とは？直線の式・グラフの基本と教え方を徹底解説｜中学数学

一次関数とは何か？　直線の式とグラフについて、中学生に教える際のポイントを、基礎からやさしく解説します。

解き方・教え方がわかる事典｜中学・高校数学

一次関数とは

まずは、「一次関数」がどういうものなのか、定義の説明から始めます。

なんとなくイメージがつかめれば大丈夫ですので、気軽に読み流してください。

一次関数がｙ＝ａｘ＋ｂの形で表されることを押さえましょう。

関数とは

一方の値を定めると、もう一方の値が定まるとき、ｙはｘの関数であるといいます。

例えば、ｙ＝ｘ＋３において、ｘ＝２を代入するとｙ＝５となります。また、ｘ＝－２を代入するとｙ＝１となります。

一次関数はｙ＝ａｘ＋ｂと表せる

一次関数は、項のなかで最大次数が１である関数のことをいいます。次数とは、文字の個数のことです。ｘの右肩についている数字が次数を表します。

例えば、ｙ＝２ｘ－３は一次関数、ｙ＝ｘ^２＋３ｘ－１はｙ＝ｘ・ｘ＋３ｘ－１となり、最大次数が２なので二次関数、ｙ＝ｘ^３＋２ｘ２ー５ｘ＋２は、ｙ＝ｘ・ｘ・ｘ＋２ｘ・ｘー５ｘ＋２となり、最大次数が３なので三次関数です。

一次関数はｙ＝ａｘ＋ｂの形で表すことができます。

ａを変化の割合（グラフでいうところの傾き）といいます。ｘが１増えるとｙはａ増え、ｘが２増えるとｙは２ａ増えます。

一次関数（ｙ＝ａｘ＋ｂ）をグラフにしてみよう！

ｂはｙ切片でａが傾きを表す！

ｙ＝ａｘ＋ｂにおいて、ａの値に関係なくｙ＝ｂになるのは、ｘ＝０のときです（ｙ＝ａｘ＋ｂ＝ａ・０＋ｂ＝ｂ）。

つまり、ｙ＝ａｘ＋ｂは、ｘｙ座標上の点（０、ｂ）を通ります。ｂはｙ軸上にありますので、これをｙ切片といいます。

また、ａをグラフの傾きといいます。

まずは比例の単元で出てきたｙ＝ａｘのグラフを思い出しましょう。

例えば、ｙ＝２ｘのとき、ｘが１増えるとｙは２増え、ｘが１減るとｙは２減るので、以下のようなグラフ（青）になります。

これは、原点（０、０）を通っていますが、ｙ＝２ｘ＋ｂの場合は、（０、ｂ）を通るので上下に平行移動することになります。

ｂ＝４の場合（ｙ＝２ｘ＋４）は、以下のようなグラフ（黄）になります。

例題

答えは以下の通りです。

①

ｘに色々な値を代入し、ｙの値を求めてみましょう。

点（ー４、１２）・点（０、４）・点（２、０）・点（４、－４）などのうち、任意の2点を直線で結べばOKです。

②

ｘに色々な値を代入し、ｙの値を求めてみましょう。

点（ー６、－１）・点（－２、１）・点（０、２）・点（４、４）などのうち、任意の2点を直線で結べばOKです。

一次関数の解き方を教えるポイント

まずは概要の理解から

ｙ＝ａｘ＋ｂが一次関数の基本形であることを伝え、ｙ＝２ｘ＋１などの簡単な式に実際に数値を代入してみてください。

なお、ａを変化の割合（グラフでいうところの傾き）と呼ぶことを伝えましょう。

次に、一次関数のグラフを描画する前に、導入として、比例を表すｙ＝ａｘのグラフを書いてもらいます。ｙ＝２ｘやｙ＝３ｘ、ｙ＝ー２ｘなど、グラフを複数描画することで、ａの値を変えるとグラフの傾きが変わることを実感しましょう。

また、ａを傾きと呼ぶことも伝えてください。

続いて＋ｂが加わることで何が変わるかを実感してもらいます。ｙ＝２ｘ＋ｂの場合、ｙ＝２ｘのグラフをｂだけ上下移動したものだということを図示してあげてください。

同時に、ｘ＝０のとき、ａがどのような値をとってもｙ＝ｂとなることを伝え、ｙ＝ａｘ＋ｂのグラフが（ｘ、ｙ）＝（０、ｂ）を通ること、ｂをｙ切片と呼ぶことを伝えればOKです。

王道の基本問題で練習を！

以下、Bの解説です。

①

ｙ＝ａｘ＋ｂとおく。

傾きが２なので、ａ＝２。

点（３、８）を通るので、ｙ＝２ｘ＋ｂのｘに３、ｙに８を代入すると、８＝２・３＋ｂとなり、ｂ＝２である。

したがって、答えはｙ＝２ｘ＋２

②

ｙ＝ａｘ＋ｂとおく。

変化の割合がー２なので、ａ＝ー２。

点（－２、３）を通るので、ｙ＝ー２ｘ＋ｂのｘに－２、ｙに３を代入すると、３＝－２・（－２）＋ｂとなり、ｂ＝－１である。

したがって、答えはｙ＝－２ｘ－１

③

ｙ＝ａｘ＋ｂとおく。

ｘの増加量が１のときのｙの増加量が変化の割合である。

ｘの増加量が２のとき、ｙの増加量がー６なので、変化の割合は－３である。よって、ａ＝ー３。

ｘ＝３のとき、ｙ＝ー２であるから、ｙ＝－３ａ＋ｂに代入すると、－２＝－３・３＋ｂとなり、ｂ＝７である。

したがって、答えはｙ＝－３ｘ＋７

④

ｙ＝ａｘ＋ｂとおく。

〈解法１〉変化の割合を出して先にａを確定する

ｘが－１から３まで４増加するとき、ｙは４から－４まで－８増加している。

よって、変化の割合ａは－２。

点（ー１、４）を通るので、ｙ＝ー２ｘ＋ｂのｘに－１、ｙに４を代入すると、４＝－２・（－１）＋ｂとなり、ｂ＝２である。

したがって、答えはｙ＝ー２ｘ＋２

〈解法２〉連立方程式を立ててａとｂを一気に求める

２点（ー１、４）（３、ー４）を通るので、

ーａ＋ｂ＝４……ⅰ

３ａ＋ｂ＝ー４……ⅱ

ⅱーⅰより、４ａ＝ー８となるので、ａ＝ー２

ⅰにａ＝２を代入すると、ー（ー２）＋ｂ＝４より、ｂ＝２

したがって、答えはｙ＝－２ｘ＋２

直線の式を求める問題を解く際は、どの文字にどの数値を代入すればよいのかを丁寧に確認することが大切です。

概要が理解できれば問題演習を重ねよう

教えてもらっている状態で問題が解けたとしても、独力でできなければ意味がありません。分かった気になっているだけ、ということもあります。

思考力が問われる数学であっても、反復練習は非常に大事です。簡単な問題から標準レベルの問題まで、段階を踏んで解いていくようにしましょう。

解けた問題には○、解けなかった問題には△や×をつけ、2周目以降では△や×の問題を中心にやり直すようにしてください。

オススメの問題集は、『中学校3年間の数学が1冊でしっかりわかる問題集』（かんき出版）や『チャート式中学数学 シリーズ』（数研出版）です。

お子さんの理解が進まないパターン3選とその対処法

教えてもなかなか理解してもらえない

根気よく何度も例題レベルの問題を一緒に解いてください。

ヒントを出しながら解いてもらい、徐々にヒントの量を減らすというのも有効です。

直線の式をグラフ化する際にイメージがつかみにくいようであれば、直線の式に様々な値を代入して座標上に点をとってもらってください。

とにかく数をこなし、慣れることが大事です。

教えるとその場ではできるのに、お子さん一人で問題を解くと間違いが多発

このパターンは、さらに以下の2パターンに大別できます。

①問題演習が足りていない

→問題演習で基礎レベルから順番に解いていきましょう。

②教えられた時は分かった気になっている

→どこでつまずいているのかを分析、理解できていないポイントを再説明しましょう。その後、説明したポイントが理解できているかを測れる問題を演習できるとベストです。

直線の式のグラフ化と、与えられた条件から直線の式を求めること。この二つが一次関数の難所です。丁寧に学習を進めてあげてください。

教えようとすると、ちょっとした間違いを指摘しただけで機嫌が悪くなり、うまくいかない

思春期で親子関係が難しく、接し方にデリケートな配慮が必要な場合があります。

1つ指摘するときは1つ以上ほめることを意識しましょう。ほめる内容は、学習を着実に進められている点などにするのがオススメです。

そして大事なことは、「根気強く、粘り強く」です。保護者の方が不機嫌になったり、イライラしたりしないように心がけてください。

子どもに教えるというのは、なかなかにストレスが溜まる作業です。保護者の方の息抜きも必要でしょう。根を詰めてやりすぎると、保護者の方もお子さんもしんどくなってしまいます。

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