三角関数の加法定理、2倍角・半角・3倍角の公式とは？基本と教え方を解説｜高校数学

加法定理・倍角の公式・半角の公式を高校生に教える際のポイントは、公式の作り方をきちんと押さえることです。

ただ、加法定理を作るのは難しいので、少なくとも加法定理だけは暗記しておいた方がよいでしょう。

なお、次の単元の基本的な解き方と教え方については、以下の記事をご覧ください。

・三角関数の基本公式とグラフ

・三角方程式・三角不等式

・和積公式・合成

解き方・教え方がわかる事典｜中学・高校数学

加法定理の基本

加法定理とは

ｓｉｎ（α±β）＝ｓｉｎ α・ｃｏｓ β±ｃｏｓ α・ｓｉｎ β

ｃｏｓ（α±β）＝ｃｏｓ α・ｃｏｓ β∓ｓｉｎ α・ｓｉｎ β

ｔａｎ（α±β）＝（ｔａｎ α±ｔａｎ β）／１∓ｔａｎ α・ｔａｎ β

単位円上に2点（Ａ（ｃｏｓ α、ｓｉｎ α）、Ｂ（ｃｏｓ β、ｓｉｎ β）など）をとり、距離の公式と余弦定理で作ることができます。

ただし面倒なので、覚えてしまうのがオススメです。

ｃｏｓ（α±β）については、プラスマイナスが逆になる点に注意しましょう。

また、ｔａｎ（α＋β）は、「1マイナスタンタン分のタンたすタン」と覚えてください。ｔａｎ（αーβ）は、プラスマイナスの符号をそれぞれ逆にすればＯＫです。

例題

①ｓｉｎ７／１２ π

②ｃｏｓ π／１２

〈解答〉

①ｓｉｎ７／１２ π

＝ｓｉｎ（π／３＋π／４）

＝ｓｉｎ π／３・ｃｏｓ π／４＋ｓｉｎ π／４・ｃｏｓ π／３

＝√３／２・１／√２＋１／√２・１／２

＝（√２＋√６）／４

②ｃｏｓ π／１２

＝ｃｏｓ（π／３ーπ／４）

＝ｃｏｓ π／３・ｃｏｓ π／４＋ｓｉｎ π／３・ｓｉｎ π／４

＝１／２・１／√２＋√３／２・１／√２

＝（√２＋√６）／４

2倍角の公式の基本

2倍角の公式とは

ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎ α・ｃｏｓ α

ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ²αーｓｉｎ²α＝１ー２ｓｉｎ²α＝２ｃｏｓ²αー１

ｔａｎ２α＝２ｔａｎ α／１ーｔａｎ²α

2倍角の公式の作り方

加法定理のβをαに置き換えることで、2倍角が作れます。

まずは、ｓｉｎ２αについて考えましょう。

加法定理ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎ α・ｃｏｓ β＋ｃｏｓ α・ｓｉｎ βのβをαに置き換えると、ｓｉｎ（α＋α）＝ｓｉｎ α・ｃｏｓ α＋ｃｏｓ α・ｓｉｎ αとなる。

よって、ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎ α・ｃｏｓ α

次に、ｃｏｓ２αについて考えましょう。

加法定理ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓ α・ｃｏｓ βーｓｉｎ α・ｓｉｎ βのβをαに置き換えると、ｃｏｓ（α＋α）＝ｃｏｓ α・ｃｏｓ αーｓｉｎ α・ｓｉｎ αとなる。

よって、ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ²αーｓｉｎ²α

さらにここで、ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１より、ｓｉｎ2α＝１ーｃｏｓ²αおよびｃｏｓ²α＝１－ｓｉｎ²αである。これらをｃｏｓ²αーｓｉｎ²αに代入すると、

ｃｏｓ²αーｓｉｎ²α＝（１ーｓｉｎ²α）ーｓｉｎ²α＝１－２ｓｉｎ²α

ｃｏｓ²αーｓｉｎ²α＝ｃｏｓ²αー（１ーｃｏｓ²α）＝２ｃｏｓ²αー１

次に、ｔａｎ２αについて考えましょう。

加法定理ｔａｎ（α＋β）＝（ｔａｎ α＋ｔａｎ β）／１ーｔａｎ α・ｔａｎ βのβをαに置き換えると、ｔａｎ（α＋α）＝（ｔａｎ α＋ｔａｎ α）／１ーｔａｎ α・ｔａｎ αとなる。

よって、ｔａｎ２α＝２ｔａｎ α／１ーｔａｎ²α

例題

π／２≦Θ≦π、ｓｉｎΘ＝２／５のとき、次の値を求めよ。

①ｃｏｓ２Θ

②ｓｉｎ２Θ

〈解答〉

①

ｃｏｓ２Θ＝１ー２ｓｉｎ²Θ

＝１ー２・（２／５）²

＝１７／２５

②

ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１より、ｃｏｓΘ＝±√１ーｓｉｎ²Θ

π／２≦Θ≦πのとき、ｃｏｓΘの値は負になるので、ｃｏｓΘ＝ー√１ーｓｉｎ²Θ

ｓｉｎΘ＝２／５を代入すると、ｃｏｓΘ＝ー√２１／５

ｓｉｎ２Θ＝２ｓｉｎ Θ・ｃｏｓ Θ

＝２・２／５・（ー√２１／５）

　　　　  ＝ー４√２１／２５

半角の公式の基本

半角の公式とは

ｓｉｎ²α／２＝（１－ｃｏｓ α）／２

ｃｏｓ²α／２＝（１＋ｃｏｓ α）／２

ｔａｎ²α／２＝（１－ｃｏｓ α）／（１＋ｃｏｓ α）

半角の公式の作り方

２倍角の公式ｃｏｓ２α＝１ー２ｓｉｎ²α＝２ｃｏｓ²αー１より、

ｓｉｎ²α＝（１－ｃｏｓ２α）／２……①

ｃｏｓ²α＝（１＋ｃｏｓ２α）／２……②

ｔａｎ α＝ｓｉｎ α／ｃｏｓ αより、ｔａｎ²α＝ｓｉｎ²α／ｃｏｓ²αなので、①②を代入して

ｔａｎ²α＝（１－ｃｏｓ２α）／（１＋ｃｏｓ２α）……③

①・②・③のαをそれぞれα／２に置き換えると、半角の公式が作れます。

ｓｉｎ αをｓｉｎ（α／２＋α／２）として加法定理を用いるイメージです。

例題

ｔａｎΘ／２＝１／３のとき、ｃｏｓΘ、ｔａｎΘの値を求めよ。

〈解答〉

ｃｏｓΘ

ｔａｎΘ／２＝１／３より、ｔａｎ²Θ／２＝１／９

半角の公式より、ｔａｎ²Θ／２＝（１－ｃｏｓ α）／（１＋ｃｏｓ α）＝１／９

１＋ｃｏｓ α＝９（１ーｃｏｓΘ）

ｃｏｓΘ＝４／５

ｔａｎΘ

倍角の公式より、

ｔａｎΘ＝（２ｔａｎΘ／２）／１ーｔａｎ²Θ／２

　　　  ＝（２／３）／（８／９）

　　　  ＝３／４

あるいは、ｃｏｓΘ＝４／５とわかったので、ｓｉｎ²Θ＋ｃｏｓ²Θ＝１を利用してｓｉｎΘの値を求め、ｔａｎΘ＝ｓｉｎΘ／ｃｏｓΘから求めてもＯＫです。

3倍角の公式の基本

3倍角の公式とは

ｓｉｎ３α＝３ｓｉｎ αー４ｓｉｎ³α

ｃｏｓ３α＝－３ｃｏｓ α＋４ｃｏｓ³α

3倍角の公式の作り方

加法定理と2倍角の公式とを組み合わせて作ります。

ｓｉｎ３α＝ｓｉｎ（２α＋α）

＝ｓｉｎ２α・ｃｏｓ α＋ｃｏｓ２α・ｓｉｎ α（∵加法定理）

＝２ｓｉｎ α・ｃｏｓ α・ｃｏｓ α＋（１ー２ｓｉｎ²α）ｓｉｎ α（∵2倍角の公式）

＝２ｓｉｎ α・（１ーｓｉｎ2α）＋ｓｉｎ αー２ｓｉｎ³α（∵ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１）

＝３ｓｉｎ αー４ｓｉｎ³α

ｃｏｓ３α＝ｃｏｓ（２α＋α）

＝ｃｏｓ２α・ｃｏｓ αーｓｉｎ２α・ｓｉｎ α（∵加法定理）

＝（２ｃｏｓ²αー１）ｃｏｓ αー２ｓｉｎ α・ｃｏｓ α・ｓｉｎ α（∵2倍角の公式）

＝２ｃｏｓ³αーｃｏｓ α－２（１ーｃｏｓ2α）・ｃｏｓ α（∵ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１）

＝－３ｃｏｓα＋４ｃｏｓ³α

例題

０＜Θ≦２πのとき、ｓｉｎ３Θ＋ｓｉｎ２Θ＝０のとき、ｃｏｓΘの値を求めよ。

〈解答〉

ｓｉｎ３Θ＋ｓｉｎ２Θ＝０

３ｓｉｎΘー４ｓｉｎ³Θ＋２ｓｉｎΘｃｏｓΘ＝０

０＜Θ≦２πのとき、ｓｉｎΘ≠０より、両辺をｓｉｎΘでわって、

３ー４ｓｉｎ2Θ＋２ｃｏｓΘ＝０

３ー４（ーｃｏｓ²Θ＋１）＋２ｃｏｓΘ＝０（∵ｓｉｎ²Θ＋ｃｏｓ²Θ＝１）

４ｃｏｓ²Θ＋２ｃｏｓΘ－１＝０

ｃｏｓΘ＝－２±√｛４ー４・４（－１）｝／８

　　　  ＝（－１±√５）／４

お子さんに教える際のポイント

まずは加法定理を暗記しましょう。

そうすれば、2倍角の公式・半角の公式・3倍角の公式を作り出すことができます。ただし、3倍角の公式は2倍角の公式を用いて作るので、少し手間がかかります。

これらの公式を駆使して、三角関数をｓｉｎΘ・ｃｏｓΘ・ｔａｎΘのいずれか1種類になるように変形すればＯＫです。

概要が理解できれば問題演習を重ねよう

教えてもらっている状態で問題が解けたとしても、独力でできなければ意味がありません。分かった気になっているだけ、ということもあります。

思考力が問われる数学であっても、反復練習は非常に大事です。簡単な問題から標準レベルの問題まで、段階を踏んで解いていくようにしましょう。

解けた問題には○、解けなかった問題には△や×をつけ、2周目以降では△や×の問題を中心にやり直すようにしてください。

今回解説した範囲のポイントは、加法定理などを用いて上手く式変形をすることです。

オススメの問題集は、『新課程　チャート式　基礎と演習数学I+A』（数研出版）や『新課程　チャート式　基礎からの数学I+A』（数研出版）です。

前者の方が問題は易しめになっています。

お子さんの理解が進まないパターン3選とその対処法

教えてもなかなか理解してもらえない

根気よく何度も例題レベルの問題を一緒に解いてください。

ヒントを出しながら解いてもらい、徐々にヒントの量を減らすというのも有効です。

三角関数の基礎範囲が理解できていないというケースもありますので、注意しましょう。

教えるとその場ではできるのに、お子さん一人で問題を解くと間違いが多発

このパターンは、さらに以下の2パターンに大別できます。

①問題演習が足りていない

→問題演習で基礎レベルから順番に解いていきましょう。

②教えられた時は分かった気になっている

→どこでつまずいているのかを分析、理解できていないポイントを再説明しましょう。その後、説明したポイントが理解できているかを測れる問題を演習できるとベストです。

様々なパターンの問題に触れ、とにかく手を動かしてもらいましょう！

教えようとすると、ちょっとした間違いを指摘しただけで機嫌が悪くなり、うまくいかない

思春期で親子関係が難しく、接し方にデリケートな配慮が必要な場合があります。

1つ指摘するときは1つ以上ほめることを意識しましょう。ほめる内容は、学習を着実に進められている点などにするのがオススメです。

そして大事なことは、「根気強く、粘り強く」です。保護者の方が不機嫌になったり、イライラしたりしないように心がけてください。

子どもに教えるというのは、なかなかにストレスが溜まる作業です。保護者の方の息抜きも必要でしょう。根を詰めてやりすぎると、保護者の方もお子さんもしんどくなってしまいます。

教えるのが大変……。成績低迷に悩む中高一貫校生なら、専門塾WAYSで92.9％が成績アップ！

最後に、お子さんが中高一貫校生で、成績低迷に悩んでいるのであれば、「中高一貫校専門 個別指導塾WAYS」をおすすめします。

• 思春期で親子関係が難しくなってきた
• 子どもの勉強を見る時間がなかなか取れない
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以上のように、家庭でのサポートが難しい場合にも、学習塾の活用は理にかなっています。

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