平成29年度 大妻中学校 3年生 数学 1学期期末テスト分析

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こんばんは!

もう夏休みも終わりですが、新学期の準備はできていますか? 夏休みの宿題に追われている方もいるかも知れませんが、最後まで諦めず必ず提出してください。そして、次回の休みは同じようにならないよう、よく反省してみてください。

 

さて、今回は大妻中学3年1学期期末テスト数学について分析していきたいと思います。また、単なる分析では終わらず、どのように勉強すれば点数アップにつながるか、具体的にアドバイスしていきたいと思います。

試験範囲

1学期期末テストの範囲は『命題と条件』『命題と証明』、そして『場合の数』『確率』でした。全て得意・不得意が出やすい範囲です。苦手だと感じたら演習量を増やすなどして、必ず解けるようにいていきましょう。

問題構成

大問 内容 基礎・標準・応用 問題数
1 命題の真偽判定と逆・裏・対偶 基礎 8
2 場合の数の小問集 基礎 8
3 確率の小問集 基礎 5
4 約数の個数と総和 基礎 2
5 0を含む数字の順列 標準 2
6 隣接する順列としない順列 標準 6
7 最短経路の数 標準 3
8 確率の小問集 標準 5
9 対偶を利用した証明・背理法による証明 標準 9

問題数と出題傾向

基礎・標準・応用
合計問題数
基礎 23
標準 25
応用 0

基礎~標準程度の問題だったと思います。ただし、試験時間を考慮するとやや分量が多かったため、成績上位層と下位層にはっきりと分かれたのではないかと思います。

数学が得意な生徒にとっては、なんてことがない標準問題だったのではないでしょうか。いずれの問題も学校の教科書と問題集に出てくる題材ばかりです。

したがって、この試験で高得点が取れた生徒さんは、大切な学習事項をしっかり身につけることに成功したと言ってよいでしょう。逆に、この試験であまり成績が芳しくなかった方は、勉強不足と言わざるを得ません。

教科書や問題集の例題をしっかり解き直すことで、曖昧な箇所を補強してください。

大問ごとの分析

大問1 命題の真偽判定と逆・裏・対偶

この設問は、単に「逆・裏・対偶」とは何かをしっかり分かっているかを問う知識の確認でした。この問題ができないようでは、教科書の理解不足だと言わなければならないくらい初歩的な問題です。また、真偽を確認するものでしたが、そこまで難しくないでしょう。

もとの命題が「真」なのに、対偶が「偽」と解答している方はいないですよね? 「もとの命題とその対偶の真偽は一致する」という一文は、この範囲で最初に覚えるべき知識ですもんね。

余談ですが、元の命題の逆と元の命題の裏の真偽は一致しますよ。なぜなら両者は対偶関係だからです。

大問2 場合の数の小問集

この設問も教科書やサクシードに頻出する問題です。何としてでも全問正解していただきたい問題でした。

以下、気になった問題についてコメントをします。

(1)は「1~100までの整数のうち、5と6の少なくとも一方で割り切れる整数の個数」を求める問題でした。ここでは重複に気をつけましょう。

(4)の必ず女子が含まれる組み合わせは、「全体から女子が含まれない(男子だけ)の場合を除く」と考えればよいでしょう。

(8)は重複組み合わせの問題です。a~dは全て負の数ではないので、6個の丸(◯)と3つの仕切り(|)を1列に並べた場合の数と一致します。

大問3 確率の小問集

この大問も特に難しいものは含まれていません。きちんと数え上げて、重複や漏れがないようにするだけです。

大問4 約数の個数と総和

1800の約数の個数とその総和を求める問題です。素因数分解をすることで1800の約数の個数は求められます。また、その総和の公式をきちんと覚えておきましょう。さらに、なぜ総和の公式がそのようになるのかをきちんと説明できるようにしてください。

大問5 0を含む数字の順列

0を含む場合と、含まない場合に分けて考えるのが定石です。(1)は重複しない場合で、1の位が0または5の場合に分けて考えていきます。

(2)は重複する場合ですが、「3288より大きい4桁の自然数を求める問題」です。①千の位が3の場合、②千の位が5・7・8の場合に分けて丁寧に考えればよいでしょう。

大問6 隣接する順列としない順列

この問題も教科書や『サクシード 数学I+A』でよく見られる問題です。この程度の問題は絶対にできるようになってください。

(3)の「①男子が両端に来る」というのは定石中の定石です。そして、「②女子が隣り合わない」というのも、定石中の定石です。男子の間に女子を入れるという手法で解けます。

大問7 最短経路の数

これも有名な問題です。最短経路問題もよく大学入試に出題されますので、発想をしっかりマスターしてください。

(3)の「RもSも通らない」は余事象を考えてやるといいでしょう。つまり、「全体からRまたはSを通る場合を除いた」数を考えましょう。この場合も重複や漏れがないように気をつけてください。

大問8 確率の小問集

この問題も教科書や『サクシード 数学I+A』に頻出しています。(3)の②は「出る目の最大値が4の場合の確率」ですが、これは少々発想が難しいでしょうか。しかし、結局は余事象です。

【1~4の目が出る確率】-【1~3の目が出る確率】を行えばよいです。これも典型的な解法ですので身につけてください。

今回はサイコロ3つの場合で考えましたが、この種の問題はサイコロn個のように一般化した場合も出題されます。

大問9 対偶を利用した証明・背理法による証明

(1)では、nを整数とするとき、「nの2乗が3の倍数ならば、nは3の倍数である」ことを穴埋めで証明する問題でした。しかし、このような問題は穴埋めでなくともできるようにしてください。

方針としては、①背理法と②対偶の2種類があります。基本的には①背理法が多用されます。しかし、②対偶が有効な場合もあります。どういう場合に有効かは……続きは授業で(笑)

(2)の無理数であることの証明も典型的です。この証明もしっかりとできるようにしてください。

「√3=有理数p/q (pとqは互いに素)として、頑張って計算します。すると、pもqも3の倍数になり、互いに素の仮定に反するから矛盾」というように証明していきます。

傾向と対策

言うまでもないことですが、学校の授業の予復習をしっかり行ってください。やはり、高校数学に入ると授業の密度が濃くなっていきます。そのため、ちょっと頑張った程度では学習内容を定着をさせることは困難です。

となれば、授業の前日あたりに30分程度、次回の内容を予習し、授業中に分からないところを解消し、その後問題集を演習することで定着させていくことが高得点の秘訣です。加えて、テストまでに教科書と問題集を必ず3周はするようにしてください。

また、定期テストを侮る方が時々いますが、それは大きな間違いです。

今回ご覧いただいたように、定期テストは基礎力を確認するのに最適なツールです。したがって、まずはテストで高得点を取ることを目標に、日々の学習に励んでいただきたいと思います。

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木元 佑太朗

東京大学文科1類入学、法学部卒業。 子供たちに自分の頭で考える習慣を身に着けさせることが理念。 科目を問わず入門・基礎から東大入試まで対応可能。 趣味は語学(英語、ドイツ語、フランス語)、ワイン、犬(柴犬・ゴールデンレトリバー)、古典芸能鑑賞、ランニング。

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