二次方程式とは? 基本の解き方3パターンと、教え方のポイントを徹底解説|中学数学
二次方程式とは何か?中学生に教える際のポイントを、基礎からやさしく解説します。
解き方は、以下の3つに大別できます。
①平方根の考え方を使う
②因数分解をする
③解の公式を使う
このページの目次
二次方程式とは
まずは、「二次方程式」がどういうものなのか、定義の説明から始めます。
なんとなくイメージがつかめれば大丈夫ですので、気軽に読み流してください。
方程式とは
方程式とは、未知数を含む等式のうち、未知数が特定の値に限定できるものをいいます。特定の値に限定できるとは、「解をもつ」と同義です。
例えば、3x-1=2x+3の解はx=4、x2=9の解はx=±3となります。
二次方程式とは
二次方程式は、項のなかで最大次数が2である方程式をいいます。次数とは、文字の個数のことです。
例えば、3x3+6は3x・x・x+6となり、xが3つあるので、次数は3です。2x4+x3+4x=x-8などは、最大次数が4なので四次方程式です。
二次方程式は、xの個数が2つなので、3x2+2x-3=0や4x2-9=0などが該当します。
二次方程式の解き方は?
二次方程式の解き方は、主に以下の3つです。
平方根の考え方を使うパターン
2乗してaになる数を、aの平方根とよびます。
x2=a(x≧0)が成り立つとき、x=±√aです。
以下の例題を解いてみましょう。
①x2=6
②(xー2)2=9
③(xー3)2=5
答えは以下の通りです。
①は、x=±√6が答えです。
②
(xー2)2=9
xー2=±3
x=2±3
x=-1、5
③
(xー3)2=5
xー3=±√5
x=3±√5
因数分解をするパターン
まずは、二次方程式をax2+bx+c=0の形に整理します。
因数分解した結果が、(xーd)(x-e)=0になった場合、xーd=0またはxーe=0のいずれかが成り立ちます。
よって、移項してx=d、eです。
例えば、x2+xー6=0について考えてみましょう。
左辺を因数分解すると、(x+3)(xー2)=0です。よって、x+3=0またはx-2=0が成り立つので、x=-3、2です。
以下の例題を解いてみましょう。
①x2ー6x+9=0
②3x2ー18x+24=0
③3x2+14x+8=0
答えは以下の通りです。
①
x2ー6x+9=0
(xー3)2=0
x=3
②
3x2ー18x+24=0
3(x2ー6x+8)=0
3(xー4)(x-2)=0
x=2、4
③
3x2+14x+8=0
(3x+2)(x+4)=0
x=ー4、ー2/3
解の公式を使うパターン
まずは、二次方程式をax2+bx+c=0の形に整理します。
解の公式x=(ーb±√(b2ー4ac))/2a(√の中身が正の数でないと実数でなくなる(虚数になる)ので、b2ー4ac≧0)にa・b・cの値を代入してxの値を出すことができます。
ただし、計算が煩雑になるので、平方根や因数分解で解ける場合はそちらで解くことをオススメします。
例えば、二次方程式3xー5xー1=0の解は、解の公式を使って、x=(ーb±√(b2ー4ac))/2aにa=3、b=-5、c=-1を代入して求められます。
x=(ー(-5)±√((ー5)2ー4・3・(-1)))/2・3
=(5±√(25+12))/6
=(5±√37)/6
ちなみに、下記のように、解の公式を自分で作ることも可能です。ただし、意外と面倒なので暗記推奨です。
ax2+bx+c=0
両辺をaで割って、
x2+b/a x+c/a=0
移項して
x2+b/a x=ーc/a
平方根の解き方を使うため、(x+○)2=△の形にしたいので、両辺に(b/2a)2を足して、
x2+b/a x+(b/2a)2=ーc/a+(b/2a)2
(x+b/2a)2=(b2ー4ac)/4a2
b2-4ac≧0のとき、
x+b/2a=±(√(b2ー4ac)/2a)
移項して、
x=ーb/2a±(√(b2ー4ac)/2a)
=(ーb±√(b2ー4ac))/2a
以下の例題を解いてみましょう。
①x2ー3x+1=0
②x2ー4xー12=0
答えは以下の通りです。
①解の公式より、
x=(ー(-3)±√((ー3)2ー4・1・1))/2・1
=(3±√5)/2
②解の公式より、
x=(ー(-4)±√(ー4)2ー4・1・(-12))/2・1
=(4±√64)/2
=(4±8)/2
=ー2、6
なお、②は(xー6)(x+2)=0と因数分解しても解ける問題です。
二次方程式の解き方を教えるポイント
平方根と因数分解を理解できているかを確認しよう
平方根と因数分解を理解していないと、二次方程式を解くことはできません。
お子さんがあまり理解できていないようなら、まずはそちらの復習を優先してください。
なお、因数分解で押さえておくべき主なパターンは、次の5つです。
①x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
②x2+2ax+a2=(x+a)2
③x2ー2ax+a2=(xーa)2
④x2ーa2=(x+a)(xーa)
⑤acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
どの解き方で解くかを見極める!
まずは二次方程式の3つの解き方を押さえ、さらに問題によってどの解き方を使うかを判断する練習をしましょう。
左辺が(x+A)2の形になるなら、平方根の考え方を使います。
C(xーA)(xーB)=0の形になるなら因数分解しましょう。
その他は解の公式で解くことになります。
なお、平方根や因数分解を使えば解ける二次方程式でも、解の公式ならごり押しできます。
解の公式は暗記するよう伝えてください。何度も使っているうちに覚えられるはずです。
概要が理解できれば問題演習を重ねよう
教えてもらっている状態で問題が解けたとしても、独力でできなければ意味がありません。分かった気になっているだけ、ということもあります。
思考力が問われる数学であっても、反復練習は非常に大事です。簡単な問題から標準レベルの問題まで、段階を踏んで解いていくようにしましょう。
解けた問題には○、解けなかった問題には△や×をつけ、2周目以降では△や×の問題を中心にやり直すようにしてください。
オススメの問題集は、『中学校3年間の数学が1冊でしっかりわかる問題集』(かんき出版)や『チャート式中学数学 シリーズ』(数研出版)です。
お子さんの理解が進まないパターン3選とその対処法
教えてもなかなか理解してもらえない
根気よく何度も例題レベルの問題を一緒に解いてください。
ヒントを出しながら解いてもらい、徐々にヒントの量を減らすというのも有効です。
また、解の公式については、よく分からないまま丸暗記してもらうのではなく、作り方を教えてあげてください。理屈が分かれば親しみが持てる、ということはよくあります。
教えるとその場ではできるのに、お子さん一人で問題を解くと間違いが多発
このパターンは、さらに以下の2パターンに大別できます。
①問題演習が足りていない
→問題演習で基礎レベルから順番に解いていきましょう。
②教えられた時は分かった気になっている
→どこでつまずいているのかを分析、理解できていないポイントを再説明しましょう。その後、説明したポイントが理解できているかを測れる問題を演習できるとベストです。
二次方程式の難所は、解の公式の暗記と、3つの解法の使い分けです。丁寧に学習を進めてあげてください。
教えようとすると、ちょっとした間違いを指摘しただけで機嫌が悪くなり、うまくいかない
思春期で親子関係が難しく、接し方にデリケートな配慮が必要な場合があります。
1つ指摘するときは1つ以上ほめることを意識しましょう。ほめる内容は、学習を着実に進められている点などにするのがオススメです。
そして大事なことは、「根気強く、粘り強く」です。保護者の方が不機嫌になったり、イライラしたりしないように心がけてください。
子どもに教えるというのは、なかなかにストレスが溜まる作業です。保護者の方の息抜きも必要でしょう。根を詰めてやりすぎると、保護者の方もお子さんもしんどくなってしまいます。
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投稿者プロフィール
- 中高一貫校に勤めて10年になる中堅教師。卒業生を3度送り出し、中学生・高校生問わず指導経験が豊富です。自身も中高一貫校出身なので、中高一貫校のことを知り尽くしています。勉強に苦しむ生徒に向き合い、試行錯誤をする日々。そんな教師生活から得られた知見をお伝えし、全国の子供たちの力になれたらと思います。
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