二次方程式とは？ 基本の解き方3パターンと、教え方のポイントを徹底解説｜中学数学

二次方程式とは何か？中学生に教える際のポイントを、基礎からやさしく解説します。

解き方・教え方がわかる事典｜中学・高校数学

二次方程式とは

まずは、「二次方程式」がどういうものなのか、定義の説明から始めます。

なんとなくイメージがつかめれば大丈夫ですので、気軽に読み流してください。

方程式とは

方程式とは、未知数を含む等式のうち、未知数が特定の値に限定できるものをいいます。特定の値に限定できるとは、「解をもつ」と同義です。

例えば、３ｘ－１＝２ｘ＋３の解はｘ＝４、ｘ2＝９の解はｘ＝±３となります。

二次方程式とは

二次方程式は、項のなかで最大次数が2である方程式をいいます。次数とは、文字の個数のことです。

例えば、３ｘ^３＋６は３ｘ・ｘ・ｘ＋６となり、ｘが3つあるので、次数は3です。２ｘ^４＋ｘ^３＋４ｘ＝ｘ－８などは、最大次数が4なので四次方程式です。

二次方程式は、ｘの個数が2つなので、３ｘ²＋２ｘ－３＝０や４ｘ²－９＝０などが該当します。

二次方程式の解き方は？

二次方程式の解き方は、主に以下の3つです。

平方根の考え方を使うパターン

2乗してａになる数を、ａの平方根とよびます。

ｘ²＝ａ（ｘ≧０）が成り立つとき、ｘ＝±√ａです。

以下の例題を解いてみましょう。

答えは以下の通りです。

①は、ｘ＝±√６が答えです。

②

（ｘー２）²＝９

ｘー２＝±３

ｘ＝２±３

ｘ＝－１、５

③

（ｘー３）²＝５

ｘー３＝±√５

ｘ＝３±√５

因数分解をするパターン

まずは、二次方程式をａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の形に整理します。

因数分解した結果が、（ｘーｄ）（ｘ－ｅ）＝０になった場合、ｘーｄ＝０またはｘーｅ＝０のいずれかが成り立ちます。

よって、移項してｘ＝ｄ、ｅです。

例えば、ｘ²＋ｘー６＝０について考えてみましょう。

左辺を因数分解すると、（ｘ＋３）（ｘー２）＝０です。よって、ｘ＋３＝０またはｘ－２＝０が成り立つので、ｘ＝－３、２です。

以下の例題を解いてみましょう。

答えは以下の通りです。

①

ｘ²ー６ｘ＋９＝０

（ｘー３）²＝０

ｘ＝３

②

３ｘ²ー１８ｘ＋２４＝０

３（ｘ²ー６ｘ＋８）＝０

３（ｘー４）（ｘ－２）＝０

ｘ＝２、４

③

３ｘ²＋１４ｘ＋８＝０

（３ｘ＋２）（ｘ＋４）＝０

ｘ＝ー４、ー２／３

解の公式を使うパターン

まずは、二次方程式をａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の形に整理します。

解の公式ｘ＝（ーｂ±√（ｂ²ー４ａｃ））/２ａ（√の中身が正の数でないと実数でなくなる（虚数になる）ので、ｂ²ー４ａｃ≧０）にａ・ｂ・ｃの値を代入してｘの値を出すことができます。

ただし、計算が煩雑になるので、平方根や因数分解で解ける場合はそちらで解くことをオススメします。

例えば、二次方程式３ｘー５ｘー１＝０の解は、解の公式を使って、ｘ＝（ーｂ±√（ｂ2ー４ａｃ））/２ａにａ＝３、ｂ＝－５、ｃ＝－１を代入して求められます。

ｘ＝（ー（－５）±√（（ー５）²ー４・３・（－１）））/２・３

　＝（５±√（２５＋１２））/６

　＝（５±√３７）/６

ちなみに、下記のように、解の公式を自分で作ることも可能です。ただし、意外と面倒なので暗記推奨です。

ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０

両辺をａで割って、

ｘ²＋ｂ／ａ ｘ＋ｃ／ａ＝０

移項して

ｘ²＋ｂ／ａ ｘ＝ーｃ／ａ

平方根の解き方を使うため、（ｘ＋○）²＝△の形にしたいので、両辺に（ｂ／２ａ）²を足して、

ｘ²＋ｂ／ａ ｘ＋（ｂ／２ａ）²＝ーｃ／ａ＋（ｂ／２ａ）²

（ｘ＋ｂ／２ａ）²＝（ｂ2ー４ａｃ）／４ａ²

ｂ²－４ａｃ≧０のとき、

ｘ＋ｂ／２ａ＝±（√（ｂ2ー４ａｃ）／２ａ）

移項して、

ｘ＝ーｂ／２ａ±（√（ｂ2ー４ａｃ）／２ａ）

＝（ーｂ±√（ｂ²ー４ａｃ））/２ａ

以下の例題を解いてみましょう。

答えは以下の通りです。

①解の公式より、

ｘ＝（ー（－３）±√（（ー３）²ー４・１・１））／２・１

　＝（３±√５）／２

②解の公式より、

ｘ＝（ー（－４）±√（ー４）²ー４・１・（－１２））／２・１

　＝（４±√６４）／２

　＝（４±８）／２

　＝ー２、６

なお、②は（ｘー６）（ｘ＋２）＝０と因数分解しても解ける問題です。

二次方程式の解き方を教えるポイント

平方根と因数分解を理解できているかを確認しよう

平方根と因数分解を理解していないと、二次方程式を解くことはできません。

お子さんがあまり理解できていないようなら、まずはそちらの復習を優先してください。

どの解き方で解くかを見極める！

まずは二次方程式の3つの解き方を押さえ、さらに問題によってどの解き方を使うかを判断する練習をしましょう。

左辺が（ｘ＋Ａ）²の形になるなら、平方根の考え方を使います。

Ｃ（ｘーＡ）（ｘーＢ）＝０の形になるなら因数分解しましょう。

その他は解の公式で解くことになります。

なお、平方根や因数分解を使えば解ける二次方程式でも、解の公式ならごり押しできます。

解の公式は暗記するよう伝えてください。何度も使っているうちに覚えられるはずです。

概要が理解できれば問題演習を重ねよう

教えてもらっている状態で問題が解けたとしても、独力でできなければ意味がありません。分かった気になっているだけ、ということもあります。

思考力が問われる数学であっても、反復練習は非常に大事です。簡単な問題から標準レベルの問題まで、段階を踏んで解いていくようにしましょう。

解けた問題には○、解けなかった問題には△や×をつけ、2周目以降では△や×の問題を中心にやり直すようにしてください。

オススメの問題集は、『中学校3年間の数学が1冊でしっかりわかる問題集』（かんき出版）や『チャート式中学数学 シリーズ』（数研出版）です。

お子さんの理解が進まないパターン3選とその対処法

教えてもなかなか理解してもらえない

根気よく何度も例題レベルの問題を一緒に解いてください。

ヒントを出しながら解いてもらい、徐々にヒントの量を減らすというのも有効です。

また、解の公式については、よく分からないまま丸暗記してもらうのではなく、作り方を教えてあげてください。理屈が分かれば親しみが持てる、ということはよくあります。

教えるとその場ではできるのに、お子さん一人で問題を解くと間違いが多発

このパターンは、さらに以下の2パターンに大別できます。

①問題演習が足りていない

→問題演習で基礎レベルから順番に解いていきましょう。

②教えられた時は分かった気になっている

→どこでつまずいているのかを分析、理解できていないポイントを再説明しましょう。その後、説明したポイントが理解できているかを測れる問題を演習できるとベストです。

二次方程式の難所は、解の公式の暗記と、3つの解法の使い分けです。丁寧に学習を進めてあげてください。

教えようとすると、ちょっとした間違いを指摘しただけで機嫌が悪くなり、うまくいかない

思春期で親子関係が難しく、接し方にデリケートな配慮が必要な場合があります。

1つ指摘するときは1つ以上ほめることを意識しましょう。ほめる内容は、学習を着実に進められている点などにするのがオススメです。

そして大事なことは、「根気強く、粘り強く」です。保護者の方が不機嫌になったり、イライラしたりしないように心がけてください。

子どもに教えるというのは、なかなかにストレスが溜まる作業です。保護者の方の息抜きも必要でしょう。根を詰めてやりすぎると、保護者の方もお子さんもしんどくなってしまいます。

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