海城高校1年数学A期末考査講評

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今回は海城高校1年の数学A期末考査の講評をしたいと思います。
テスト範囲は三角関数で大問が6つで、[1]-[3]が小問4題ずつ、[4]-[6]が大問1題ずつという構成です。[1]-[3]の配点が24点ずつなので、基礎的な計算を間違えなければ高得点が取れる出題形式になっています。

[1]:三角方程式

[1]は三角方程式が4問 6×4=24点です。(1)は弧度法と角度に対する三角関数の値がわかっていれば解けます。
(2)は間違えて加法定理で展開してしまわぬように気をつけたいところです。2θ-π/6を好きな未知数で置き換えましょう。また、2θ-π/6なので値域をきちんと考える必要があります。そういう意味では本テストの中で一番間違える人が多そうな問題といえるでしょう。
(3)は倍角公式を用いて因数分解すれば解けます。(2)の方が難しいです。
(4)はsinθとcosθの一次式なので、単純に片方を右辺に持って行って2乗してしまいそうになりますが、それだと中々解けません。sin,cosの一次式の足し算は三角関数の合成を用いて解きましょう。
全部それほど難しくありませんが、(2)は値域を間違える可能性があるので注意しないといけません。

[2]:三角不等式

[2]は三角不等式です。6×4=24点です。θの値域を求めるので、不等号の向きには注意して下さい。問題ですが、基本的には[1]と全く同じ形式になっています。(1)がそのまま、(2)が置換、(3)が倍角展開、(4)が合成です。[2]は[1]で出題された三角方程式の考え方をそのまま不等式に置き換えただけなので、慌てず解きましょう。

[3]三角関数の値を求める問題

6×4=24点です。通常の三角関数のθの値とは異なる三角関数の値を求める問題が4問出ています。ただし、(3),(4)は問題のミスで、実際には出来なくても加点されていたようです。基本的には(1)半角(2)加法定理(3)和積(4)積和公式を用いれば全て解けます。
ただし、半角、和積、積和は加法定理から導き出せるので、時間をかければ公式を覚えていなくても解くことは出来ます。ただ、慣れていないと少々時間がかかるかもしれません。

[4]直線の回転問題

大問1問8点です。1次関数をある角度回転させて、その回転した関数を求めるという問題です。y切片が0なので、回転させたといっても単純に傾きだけを求めれば良いという単純な問題です。傾きはtanθで表わされることがわかれば、回転角分加法定理を用いて求めましょう。
tanの加法定理なんて覚えていないという人は、sin,cosの加法定理から求めればいいので、諦めないことが重要です。

[5]方程式を解く

大問1問8点です。sinの倍角と3倍角が等しい時に、cosθの値を求めろというものです。
倍角の関係からcosθを求めるのは難しいので、全てsinθ、cosθに変換して求めましょう。最後は2次方程式を解く形になります。

[6]三角関数の最大最小問題

三角関数の最大最小問題です。大問1問で12点の為、難しそうに見えますが、手順が他の問題に比べて多いだけで、難易度自体が高いわけではありません。3つある関数のうち2つを加法定理で展開して、その後全体で合成するという手順です。1つの関数に直したら最大最小を求めるというオーソドックスな形式の問題です。

総評:

[1],[2],[3]のような、方程式、不等式を解く、値を求めるというような単純な問題の配点が高くなっていることから、問題作成者が基礎的な力を求めていることが伺えます。この基礎的な力と言うのはきちんと種々の定理を適切に使えるかという単純なことを出題で聞いているということです。
実際、殆どの問題で値の置換や、種々の定理を使いこなせなければ解けない形になっていました。
また、全体を通して捻くれた問題は存在しませんでした。[1]の(1)と[2]の(1)が極めて単純な問題で、それ以外は定理を使ったり、値を置換したりして答えを出すという形式で、[6]含めて特に難易度に大きな差はありません。強いて比べるなら、[1]の(2)などは、値域をきちんと考えないといけないので、答えを出す段階で間違えるひとが多いかもしれません。

三角関数の分野は弧度法と今ままでの角度の対応から、加法定理、倍角、3倍角、半角、積和の公式、和積の公式、三角関数の合成と一見覚えることがたくさんあります。しかもただ覚えても、どのような場面でその定理や公式を用いるのかが分からなければ問題は解けないので、それなりに演習をこなす必要があります。
実際には、弧度法の対応と、加法定理さえ理解していれば、他の公式は一つも覚える必要はないのですが、今回のテストでは問題数がそれなりにあったので、問題ナレしていない人がテスト本番で必要な定理を全て導き出していたら、このテスト問題を全て解くには時間が足りないでしょう。

逆に、基礎的な理解ができていて、きちんと問題演習をこなし、ある程度のスピードで問題を解く事ができる学生ならば満点に近い点数を取れるテストになっています。
このテストに関しては、上記でも書いた通りひねくれた問題はないので、テスト直しをきちんとして、出来なかったタイプの問題をシステム数学で復習し、次に同レベルのテストが出た際には満点が取れるというような状態にしておくと良いでしょう。

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