読めば必ず分かる!数学の命題ー必要条件、十分条件の暗記法


中学三年生や、高校一年生の皆様!

皆様は、もうすでに「命題」という単元を学校で習いましたでしょうか?

一般的には、中高一貫校生であれば中学三年生、公立であれば高校一年生で履修する単元ですが、

この単元、センター試験でも超頻出の重要単元でありますが、

一方で、数学っぽくないな、って思われた方も多いのではないかと思われます。

というのも、言っていることが正しいかどうかの判別や、言っていることの逆や裏を述べよ、って、数学っていうよりなんだか国語っぽい。

公立高校一年生でこれを習った直後の自分はそう感じました。

皆様の中にも、そう感じた方がいらっしゃるかと思われます。

それがゆえに、今までの数学とは違った姿勢で向き合わなければならず、だからこそ苦手な方も多くいらっしゃいます。

今回は、この「命題」とは一体何なのか。そして「必要条件」「十分条件」って何なのか。

その入り口を、「数学っぽくない」感じで、ご説明致します。

「命題」ではないもの、「命題」であるもの。

「命題」の単元に入り、最初にやることは、ある文章が「命題であるか、否か」と、「その命題は真か、偽か。」ということを判定することです。

大体この手の問題では、絶対値や二乗の数を使って引っかけてくる問題がメジャーではあるのですが、ここではそんなことはしません。

では例を出しましょう。

「北海道はとても大きい」。これはどうでしょう。

大きい。そうですよね、とても大きいです。日本地図を見れば一目瞭然です。日本人なら、余程のひねくれものやあまのじゃくでない限り、全員が全員、大きいというでしょう。

ですが、この文章は、「真か、偽か。」以前に、命題ではないんです。

なぜなら、この文章は、判断基準が明確化されておりません。ロシア人がこの文章を見て、「アータシカニオオキイネ。」と言うでしょうか。微妙なラインですよね。

それがいけないんです。

「命題」は、客観的な数値や区分けがしっかりできるものが明示されていなければ、「命題」とは言えません。

「北海道はとても大きい」。なにをもって「大きい」なのでしょうか。それこそ、ロシアの方が大きいです。日本でも、本州全体の方が北海道より大きいですよね。

「北海道小さい!!めっちゃ小さい!!宇宙に比べたらホコリ同然じゃん!!」

こういう意見だって出てもおかしくないはずです。

つまり、主観的意見や、定義不明瞭な形容詞は「命題」としては不適切である、ということが重要なのです。

それでは、「命題」とはどのようなものなら良いか、と申しますと、その逆、つまり、しっかりと定義づけのできる客観的数値があればよいのです。

「北海道は日本国内にある都道府県の中で、最も面積が広い。」

もうご理解いただけていると思いますが、これはれっきとした命題で、「真」である、ということが出来ます。

考えてみて下さい、この文面であれば、ロシア人であろうが、宇宙に比べりゃ北海道なんてホコリだ、と主張する人であろうが、頷かざるを得ないはずです。

なぜなら、定義が明確に提示されているからです。そして、それこそが「命題」であることの条件なのです。

そして、それに即して、真偽を定めていくのが、「命題」という範囲の入り口です。

「必要条件」と「十分条件」

「必要条件」と「十分条件」でまずやることは、暗記です。本当に数学っぽくない単元ですね。

①「十分条件」ならば「必要条件」

②「十分条件」を「必要条件」の範囲が包んでいて、なおかつ「必要条件」のほうが大きい

この二つを覚えて下さい。というか、この二つを覚えるだけです。これに当てはめて、真偽を考えるのが、この単元での内容になります。

相変わらず地理で考えましょう。

「東京都ならば自由が丘である」

この命題は、真でしょうか、偽でしょうか。

まず、どちらが十分条件で、どちらが必要条件でしょうか。

それは、覚えていただく上の①に当てはめればよいですので、単純に「東京都」が十分条件で、「自由が丘」が必要条件です。

さて、次に、「東京都」と「自由が丘」はどちらのほうが大きいでしょうか。「東京都」ですよね。「自由が丘」は東京都の中の、目黒区の一画に過ぎません。

つまり、この命題は、「東京都」=「十分条件」が「必要条件」の範囲を包んでいて、「十分条件」のほうが大きいことになってしまっているので、②と真逆になってしまいます。

よって偽です。

実際、「私今東京にいるんだよね」と言われて、「それならば自由が丘だね」となるのはおかしいですよね。それは勝手に決めつけてしまってますよね。

まあ、日本語的感覚からも偽と分かるかもしれませんが、実際は数式ですので、考え方としては、上に挙げた①、②に即して考えていただければ、と思います。

一応いうと、

「自由が丘なら東京都である」

であれば大丈夫です。②の条件にもしっかり当てはまっています。

語りあげると尽きませんのでこの辺にしておきますが、命題ってあまり数学っぽくない科目なのかな、って思っていただければ、と思います。

命題や必要条件、十分条件を考える上で一助になれば幸いです。

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